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824 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
Figura 3
u1n2 n/1n 12
No todas las sucesiones se pueden definir
mediante una fórmula. Por ejemplo,
no hay fórmula conocida para la sucesión
de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .
Números primos grandes
La búsqueda de números primos
grandes fascina a muchas personas.
En el momento en que esto se escribió,
el número primo más grande
conocido era
2 25 964 951 1
Fue descubierto en 2005 por Martin
Nowak, un cirujano oftalmólogo y
aficionado a las matemáticas, de
Michelfeld, Alemania. Utilizó para
ello una computadora Pentium 4
de 2.4 GHz. En la notación decimal
este número contiene 7 816 230 dígitos.
Si se escribiera completo
ocuparía casi el doble de páginas
de este libro. Nowak estuvo trabajando
con un grupo de Internet
grande conocido como GIMPS
(la Great Internet Mersenne Prime
Search, la Gran Búsqueda por Internet
de los primos Mersenne).
Los números de la forma 2 p 1,
donde p es primo, se llaman números
Mersenne, y en ellos se
comprueba con más facilidad su
calidad de primos que en otros.
Ésta es la razón por la cual los primos
conocidos más grandes son de
esta forma.
Plot1 Plot2 Plot3
la figura 3a). Si se ingresa la sucesión u1n2 n/1n 12 del ejemplo 1c), podemos ver
los términos usando el comando TABLE como se muestra en la figura 3b). También
se pueden graficar las sucesiones como se ilustra en la figura 3c).
=== ( +1)
u( )
1 .5
2 .66667
.75
4 .8
5 .83333
6 .85714
7 .875
=1
a)
b) c)
Encontrar patrones es una parte importante de las matemáticas. Considere una sucesión
que empieza
1, 4, 9, 16, . . .
¿Puede detectar un patrón en estos números? En otras palabras, ¿puede definir una
sucesión cuyos primeros cuatro términos sean estos números? La respuesta a esta
pregunta parece fácil; estos números son los cuadrados de los números 1, 2, 3, 4. Por
consiguiente, la sucesión que estamos buscando se define mediante a n n 2 . No
obstante, esta no es la única sucesión cuyos primeros cuatro términos son 1, 4, 9, 16.
En otras palabras, la respuesta a nuestro problema no es única (véase el ejercicio 78). En
el ejemplo siguiente interesa encontrar una sucesión obvia cuyos primeros términos
concuerden con los términos dados.
Ejemplo 2 Determinación del n-ésimo término
de una sucesión
Determine el n-ésimo término de una sucesión cuyos primeros términos se
proporcionan.
1
a) 2, 3 4, 5 6, 7 8, . . . b) 2, 4, 8, 16, 32,...
Solución
a) Se puede observar que los numeradores de estas fracciones son los números impares
y los denominadores son los números pares. Los números pares son de la
forma 2n, y los números impares son de la forma 2n 1 (un número impar difiere
de un número par en 1). Entonces, la sucesión que tienen estos números en
sus primeros cuatro términos está representada por
a n 2n 1
2n
b) Estos números son potencias de 2 y se alternan de signo, por lo que una sucesión
que concuerda con estos términos es
a n 112 n 2 n
Debe comprobar que estas fórmulas generan en verdad los términos dados. ■
Sucesiones definidas recursivamente
Algunas sucesiones carecen de fórmulas que se definen tan fácilmente como las del
ejemplo anterior. El n-ésimo término de una sucesión podría depender de algunos o
de todos los términos que lo preceden. Una sucesión definida de esta manera se llama
recursiva. He aquí dos ejemplos.
1.5
0 15