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112 CAPÍTULO 1 Fundamentos
Pendiente de una recta
La pendiente m de una recta que no es vertical y que pasa por los puntos
A1x 1 , y 1 2 y B1x 2 , y 2 2 es
m
desplazamiento vertical
desplazamiento horizontal
y 2 y 1
x 2 x 1
René Descartes (1596-1650) nació
en la ciudad de La Haye en el
sur de Francia. Desde temprana
edad, a Descartes le gustaron las
matemáticas debido a “la certeza
de sus resultados y a la claridad de
su razonamiento”. Él opinaba que
con el fin de llegar a la verdad uno
debía empezar por dudar de todo,
incluso de la propia existencia de
uno mismo. Esto le llevó a formular
quizá la frase más conocida de
toda la filosofía: “Pienso, luego
existo”. En su libro Discurso del
método describió lo que ahora conocemos
como plano cartesiano.
Esta idea de combinar el álgebra y
la geometría permitió que los matemáticos
“vieran” por primera vez
las ecuaciones que estudiaban. El
filósofo John Stuart Mill llamó a
su invención “el paso más grande
jamás dado en el avance de las
ciencias exactas”. A Descartes le
gustaba levantarse tarde y pasar la
mañana en la cama pensando y escribiendo.
Inventó el plano coordenado
mientras yacía en la cama
observando el recorrido errático de
una mosca en el techo, y razonando
que podría describir la posición
exacta de la mosca si supiera su
distancia a dos muros perpendiculares.
En 1649, Descartes se volvió
tutor de la reina Cristina de Suecia.
A ella le gustaba tomar sus lecciones
a las 5 de la mañana, hora en
que, según ella, su mente estaba
más despierta. Pero el cambio en
los hábitos de Descartes y la biblioteca
fría como el hielo donde
estudiaban fueron demasiado para
él. En febrero de 1650, justo dos
meses después, enfermó de neumonía
y murió
La pendiente de una recta vertical no está definida.
La pendiente es independiente de los puntos que se escogen en la recta. Podemos
observar que esto es verdadero a partir de los triángulos
y
0
Figura 3
A'(x'⁄, y'⁄)
A(x⁄, y⁄)
B(x'¤, y'¤)
x'¤-x'⁄
En la figura 4 se muestran varias rectas con sus pendientes marcadas. Observe
que las rectas con pendiente positiva están hacia arriba a la derecha, y las de pendiente
negativa están hacia abajo y a la derecha. Las rectas con mayor pendiente son aquellas
cuyo valor absoluto de la pendiente es más grande; una recta horizontal tiene
pendiente cero.
y
0
y 2 y 1
x 2 x 1
yœ 2 y œ 1
x œ 2 x œ 1
m=5
m=_5
y'¤-y'⁄
Figura 4
Rectas de varias pendientes
x¤-x⁄
(Desplazamiento
horizontal)
m=2
m=_2
B(x¤, y¤)
m=1
m=_1
m= 1 2
m=0
m=_ 1 2
y¤-y⁄ (Desplazamiento
vertical)
x
x