7nxQnvJSe

576 Enfoque en el modelado
Ejemplo 1 Una onda progresiva
Una onda progresiva se describe por la función
y1x, t2 3 sen a 2x p 2 t b , x 0
y
3
a) Determine la función que modela la posición del punto x p/6 en cualquier
tiempo t. Observe que el punto se mueve en movimiento armónico simple.
b) Grafique la forma de la onda cuando t 0, 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0. ¿La onda parece
desplazarse a la derecha?
c) Calcule la velocidad de la onda.
Solución
a) Al sustituir x p/6 obtenemos
y a p 6 , t b 3 sen a 2 #
p
6 p 2 t b 3 sen a p 3 p 2 t b
La función y 3 senA p 3 p 2 tB describe el movimiento armónico simple con
amplitud igual a 3 y periodo 2p/1p/22 4.
b) Las gráficas se muestran en la figura 4. A medida que se incrementa t, la onda se
mueve a la derecha.
c) Expresamos la función dada en la forma estándar y1x, t2 A sen k1x √t2:
y1x, t2 3 sen a 2x p 2 t b
Expresión dada
0
2
4
6
x
3 sen 2 a x p 4 t b
Se toma 2 como factor
_3
Figura 4
Onda progresiva
Al comparar con la forma estándar, vemos que la onda se desplaza con
velocidad √ p/4.
Ondas estacionarias
Si dos ondas se desplazan a lo largo de la misma cuerda, entonces el movimiento de
la cuerda está determinado por la suma de las dos ondas. Por ejemplo, si la cuerda
está fija a la pared, entonces la onda rebota con la misma amplitud y velocidad, pero
en la dirección opuesta. En este caso, una onda está descrita por y A sen k1x √t2
y la onda reflejada por y A sen k1x √t2. La onda resultante es
y1x, t2 A sen k1x √t2 A sen k1x √t2 Suma de las dos ondas
2A sen kx cos k√t
Fórmula suma-a-producto
Los puntos donde kx es un múltiplo de 2p son especiales, porque en estos puntos
y 0 para cualquier tiempo t. En otras palabras, estos puntos nunca se mueven. Estos
puntos reciben el nombre de nodos. En la figura 5 se ilustra la gráfica de la onda
para varios valores de t. Vemos que la onda no se desplaza, sino que simplemente
vibra hacia arriba y hacia abajo. Tal tipo de onda se denomina onda estacionaria.
y
■
2A
Figura 5
Onda estacionaria
_2A
x