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SECCIÓN 9.9 Sistemas de desigualdades 725
Ejemplo 4
Un sistema de desigualdades lineales
Grafique el conjunto solución del sistema.
x 2y 8
• x 2y 4
3x 2y 8
8
Solución En necesario graficar las rectas que corresponden a estas desigualdades
y luego sombrear las regiones adecuadas, como en el ejemplo 3. Usamos una
calculadora para graficar, de modo que primero tenemos que aislar a y en el lado
izquierdo de cada desigualdad.
_2
1
y 2 x 4
• y 1 2 x 2
y 3 2 x 4
Figura 7
Al aplicar la característica de sombreado de la calculadora obtenemos la gráfica de
la figura 7. El conjunto solución es la región triangular que está sombreada con los
tres patrones. Luego usamos TRACE o el comando Intersect para determinar
los vértices de la región. El conjunto solución se grafica en la figura 8.
■
y
1
0 1
Figura 8
(2, 3)
(4, 2)
(6, 5)
x
Cuando una región del plano se puede abarcar por un círculo suficientemente
grande, se dice que está acotada, y si no es así se le llama no acotada. Por ejemplo,
las regiones graficadas en las figuras 3, 5b), 6b) y 8 son acotadas, en tanto que las
de las figuras 2 y 4 son no acotadas. Una región no acotada no puede ser “encerrada”,
ya que se extiende hasta el infinito por lo menos en una dirección.
Aplicación: regiones factibles
En muchos problemas aplicados hay restricciones en las variables. Por ejemplo, el
gerente de una fábrica tiene sólo una cantidad de trabajadores que pueden ser asignados
a ejecutar tareas en el piso de la fábrica. Un granjero que está pensando qué cultivos sembrar
tiene sólo una cierta cantidad de tierra que puede trabajar. Por lo regular, dichas
restricciones o limitaciones se pueden expresar como sistemas de desigualdades.
Cuando se trabaja con desigualdades aplicadas, por lo general se llama al conjunto
solución de un sistema región factible porque los puntos del conjunto solución representan
valores factibles o posibles de las cantidades que están siendo estudiadas.
Ejemplo 5
Restricción de sustancias contaminantes
Una fábrica produce dos plaguicidas A y B para uso en la agricultura. Por cada barril
de A, la fábrica emite 0.25 kg de monóxido de carbono (CO) y 0.60 kg de dióxido de
azufre (SO 2 ). En cuanto a B, por cada barril producido la fábrica emite 0.50 kg de CO
y 0.20 kg de SO 2 . Las leyes contra la contaminación restringen la emanación de CO de
la fábrica a un máximo de 75 kg y SO 2 a un máximo de 90 kg por día.
a) Plantee un sistema de desigualdades que describa la cantidad de barriles de cada
plaguicida que la fábrica puede producir y cumplir con las leyes contra la
contaminación. Grafique la región factible.
b) ¿Sería legal que la fábrica produjera 100 barriles de A y 80 barriles de B por día?
c) ¿Sería legal que la fábrica produjera 60 barriles de A y 160 barriles de B por
día?