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SECCIÓN 10.3 Hipérbolas 767
La gráfica se muestra en la figura 5.
y
3
Ϸ
_3 0 3 x
Figura 5
x 2
9 y2
7 1
_3
_Ϸ
■
Ejemplo 4
Hallar la ecuación de una hipérbola
a partir de sus vértices y asíntotas
y
F⁄
1
x
Encuentre la ecuación y los focos de la hipérbola con vértices 10, 22 y asíntotas
y 2x. Bosqueje la gráfica.
Solución Puesto que los vértices están sobre el eje y, la hipérbola tiene un eje
transversal vertical con a 2. De la ecuación de la asíntota se ve que a/b 2.
Puesto que a 2, se obtiene 2/b 2 y, por lo tanto, b 1. Así, la ecuación de la
hipérbola es
y 2
4 x 2 1
F¤
Para hallar los focos, se calcula c 2 a 2 b 2 2 2 1 2 5, por lo tanto c 15.
Así, los focos son 10, 152. La gráfica se muestra en la figura 6. ■
Figura 6
y 2
4 x 2 1
Al igual que las parábolas y elipses, las hipérbolas tienen una propiedad de reflexión
interesante. La luz dirigida a un foco de un espejo hiperbólico se refleja hacia el
otro foco, según se ilustra en la figura 7. Esta propiedad se usa en la construcción de
telescopios tipo Cassegrain. Se coloca un espejo hiperbólico en el tubo telescópico
de modo que la luz reflejada del reflector parabólico primario se dirija a un foco del
espejo hiperbólico. La luz se enfoca de nuevo a un punto más accesible debajo del reflector
primario (figura 8).
Reflector
hiperbólico
F¤
F¤
eflector parabólico
Figura 7 Figura 8
Propiedad de reflexión de las hipérbolas
Telescopio tipo Cassegrain