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SECCIÓN 7.3 Fórmulas para el ángulo doble, mitad de ángulo o semiángulo y producto-a-suma 541
51–52 ■ a) Grafique la función y plantee una conjetura, luego,
b) demuestre que su conjetura es cierta.
b) Suponga que C 10 y a p/3. Calcule constantes k y
f para que f1t2 k sen1vt f2.
51.
y sen 2 a x p 4 b sen2 a x p 4 b
1
52. y 2 3cos1x p2 cos1x p24
53. Calcule A B C de la figura. [Sugerencia: primero
aplique una fórmula de adición para encontrar tan1A B2.]
Aplicaciones
A B C
1
1
54. Adición de un eco Un dispositivo digital de retardo forma
eco de una señal de entrada repitiéndola un tiempo fijo
después de que la recibe. Si tal dispositivo recibe la nota pura
f 1 1t2 5 sen t y repite la nota pura f 2 1t2 5 cos t, entonces
el sonido combinado f1t2 f 1 1t2 f 2 1t2.
a) Grafique y f1t2 y observe que la gráfica tiene la forma
de una curva seno, y k sen1t f2.
b) Calcule k y f.
55. Interferencia Dos diapasones idénticos se pulsan: uno a
una fracción de segundo después que el otro. Los sonidos
generados son modelados mediante f 1 1t2 C sen vt y
f 2 1t2 C sen1vt a2. Las dos ondas sonoras interfieren
para producir un solo sonido modelado por la suma de
estas funciones.
f1t2 C sen vt C sen1vt a2
a) Use la fórmula de la adición para el seno con el fin
de demostrar que f se puede expresar en la forma
f1t2 A sen vt B cos vt, donde A y B son constantes
que dependen de a.
1
1
Descubrimiento • Debate
56. Fórmula de adición para el caso del seno En el texto
demostramos sólo las fórmulas de adición y sustracción
para el coseno. Aplique estas fórmulas y las identidades
de las cofunciones
sen x cos a p 2 x b
cos x sen a p 2 x b
para demostrar la fórmula de adición para el caso del seno.
[Sugerencia: para empezar use la primera identidad de las
cofunciones para escribir
sen1s t2 cos a p 1s t2b
2
cos aa p 2 s b t b
y aplique la fórmula de la sustracción para el coseno.]
57. Fórmula de la adición para la tangente Aplique las
fórmulas de la adición para el coseno y el seno con el objeto
de demostrar la fórmula de la adición para la tangente.
[Sugerencia: use
sen1s t2
tan1s t2
cos1s t2
y divida tanto el numerador como el denominador entre
cos s cos t.]
7.3 Fórmulas para el ángulo doble, mitad
de ángulo o semiángulo y producto-a-suma
Las identidades que estudiamos en esta sección son consecuencias de las fórmulas de
adición. Las fórmulas para el ángulo doble permiten calcular valores de las funciones
trigonométricas en 2x a partir de los valores en x. Las fórmulas de la mitad de
1
ángulo o semiángulo relacionan valores de las funciones trigonométricas en 2 x con
sus valores en x. Las fórmulas del producto-a-suma relacionan productos de senos
y cosenos con sumas de senos y cosenos.
Fórmulas para el ángulo doble
Las fórmulas en el recuadro siguiente son consecuencias inmediatas de las fórmulas
de adición, que demostramos en la sección anterior.