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SECCIÓN 12.4 Límites en el infinito; límites de secuencias 909
x
f1x2
0 1.000000
1 0.000000
2 0.600000
3 0.800000
4 0.882353
5 0.923077
10 0.980198
50 0.999200
100 0.999800
1000 0.999998
Límites en el infinito
Se investigará el comportamiento de la función f definida por
f1x2 x2 1
x 2 1
cuando x toma valores grandes. En la tabla del margen se dan los valores de esta
función correctos hasta seis decimales, y la gráfica de f ha sido trazada mediante
una computadora en la figura 1.
y
0
y=1
1
y= ≈-1
≈+1
x
Figura 1
Cuando x toma valores cada vez más grandes, se ve que los valores de f1x2 se
aproximan a 1. De hecho, al parecer se puede hacer que los valores de f 1x2 se aproximen
a 1 tanto como se quiera al tomar x suficientemente grande. Esta situación se expresa
en símbolos como
En general, se usa la notación
x 2 1
lím
xSq x 2 1 1
lím f1x2 L
xSq
para indicar que los valores de f1x2 se aproximan más y más a L cuando x toma valores
cada vez más grandes.
Límite en el infinito
Sea f una función definida en algún intervalo 1a, q 2. Entonces,
lím f1x2 L
xSq
indica que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L
si x toma valores suficientemente grandes.
Los límites en el infinito se estudian en
la sección 3.6.
Otra notación para lím f1x2 L es
El símbolo q no representa un número. Sin embargo, con frecuencia la expresión
f1x2 L se lee como
lím
xSq
xSq
f1x2 L cuando x q
“el límite de f1x2, cuando x se aproxima al infinito, es L”
o bien “el límite de f1x2, cuando x se vuelve infinita, es L”
o bien “el límite de f1x2, cuando x crece sin cota, es L”