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SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de cónicas 799
Así que, b 112 2 13 3.46. Conocer a y b permite dibujar el cuadro
central, del cual se obtienen las asíntotas mostradas en la figura 4.
■
Cuando se hacen girar las cónicas, es mucho más conveniente usar ecuaciones polares
que ecuaciones cartesianas. Se usa el hecho de que la gráfica de r f(u ) es
la gráfica de r f(u) rotada en sentido contrario a las manecillas del reloj respecto al
origen por un ángulo (véase el ejercicio 55 en la sección 8.2).
11
10
r=
3-2 ç(¨ _ π/
4)
Ejemplo 4
Rotar una elipse
Suponga que la elipse del ejemplo 2 se hace girar por un ángulo p/4 respecto al origen.
Encuentre una ecuación polar para la elipse resultante y dibuje su gráfica.
Solución Se obtiene la ecuación de la elipse rotada reemplazando u con u p/4
en la ecuación dada en el ejemplo 2. Así que la nueva ecuación es
_5 15
r
10
3 2 cos1u p/42
_6
r= 10
3-2 ç ¨
Se usa esta ecuación para graficar la elipse rotada de la figura 5. Observe que la
elipse ha sido rotada respecto al foco en el origen.
■
Figura 5
En la figura 6 se usa una computadora para bosquejar varias cónicas con el fin
de demostrar el efecto de variar la excentricidad e. Observe que cuando e está cerca
de 0, la elipse es casi circular y se vuelve más alargada cuando se incrementa e.
Cuando e 1, por supuesto, la cónica es una parábola. Cuando e se incrementa más
allá de 1, la cónica es una hipérbola más inclinada.
e=0.5 e=0.86
e=1 e=1.4 e=4
Figura 6
10.6 Ejercicios
1–8 ■ Escriba una ecuación polar de una cónica que tiene su
foco en el origen y satisface las condiciones dadas.
1. Elipse, excentricidad , directriz x 3
2. Hipérbola, excentricidad , directriz x 3
2
3
3. Parábola, directriz y 2
4
3
1
2
4. Elipse, excentricidad , directriz y 4
5. Hipérbola, excentricidad 4, directriz r 5 sec u
6. Elipse, excentricidad 0.6, directriz r 2 csc u
7. Parábola, vértice en 15, p/22
8. Elipse, excentricidad 0.4, vértice en (2, 0)