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SECCIÓN 10.3 Hipérbolas 763
Ecuaciones y gráficas de hipérbolas
Las propiedades principales de las hipérbolas se listan en el cuadro siguiente.
Hipérbola con centro en el origen
La gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones es una hipérbola con centro en el origen y que tiene las siguientes
propiedades.
ECUACIÓN
x 2
y 2
a x 2
2 2
1
a y2
2 2
1 1a 0, b 02
b b
1a 0, b 02
VÉRTICES
EJE TRANSVERSAL
1a, 02
Horizontal, longitud 2a
10, a2
Vertical, longitud 2a
ASÍNTOTAS
y b a x
y a b x
FOCOS 1c, 02, c 2 a 2 b 2 10, c2, c 2 a 2 b 2
GRÁFICA
y=_
b
a
x
y
y=
b
a
x
y
F⁄(_c, 0)
_a
b
a
F¤(c, 0)
x
y=_
a
b
x
_b
a
_a
F⁄(0, c)
b
y=
a
b
x
x
_b
F¤(0, _c)
Las asíntotas de funciones racionales se
analizan en la sección 3.6.
Las asíntotas mencionadas en este cuadro son líneas a las que se aproxima la hipérbola
para valores grandes de x y y. Para encontrar las asíntotas en el primer caso
del cuadro, de la ecuación se despeja y para obtener
y b a 2x 2 a 2
b a x B 1 a2
A medida que crece x, a 2 /x 2 se aproxima cada vez más a cero. En otras palabras,
cuando x q se tiene a 2 /x 2 0. Por consiguiente, para x grande el valor de y se
puede aproximar como y 1b/a2x. Esto muestra que estas líneas son asíntotas
de la hipérbola.
Las asíntotas son una ayuda esencial para graficar una hipérbola; ayudan a determinar
su forma. Una manera conveniente de encontrar las asíntotas, para una hipérbola
con eje transversal horizontal, es graficar primero los puntos 1a, 02, 1a, 02, 10, b2 y
10, b2. Luego, se bosquejan los segmentos verticales y horizontales que pasan
por estos puntos para construir un rectángulo, como se muestra en la figura 2a) en la
página siguiente. A este rectángulo se le llama caja central de la hipérbola. Las pendientes
de las diagonales de la caja central son b/a, de modo que al extenderlas se
obtienen las asíntotas y 1b/a2x, como se bosqueja en el inciso b) de la figura. Por
último, se grafican los vértices y se usan las asíntotas como guía para bosquejar la
x 2