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304 CAPÍTULO 3 Funciones polinomiales y racionales
y → `cuando
x → 1 −
y
5
1
−1 0 1 2
y → `cuando
x → 1 +
x
Así, cerca de la asíntota vertical x 1, la gráfica de r tiene la forma mostrada en la
figura 4.
ASÍNTOTA HORIZONTAL: la asíntota horizontal es el valor al que se aproxima y
cuando x q. Como ayuda para determinar este valor, se divide el numerador
y el denominador entre x 2 , la potencia más alta de x que aparece en la expresión:
1
y 2x2 4x 5
# 2 4 x 2 x 5 x 2
x 2 2x 1 1
1 2 x 2 x 1 x 2
Las expresiones fraccionarias , , y tienden a 0 cuando x q (véase el
ejercicio 79, sección 1.1). Así que cuando x q, se tiene
4
x
5
x 2
2
x
1
x 2
Estos términos tienden a 0.
Figura 4
2 4 x 5 x 2
y
1 2 x 1
x 2
2 0 0
1 0 0 2
Estos términos tienden a 0.
Así, la asíntota horizontal es la recta y 2.
Puesto que la gráfica debe aproximarse a la asíntota horizontal, se puede completar
como en la figura 5.
y
y → 2 cuando
x → −`
5
y → 2 cuando
x → `
Figura 5
r1x2 2x2 4x 5
x 2 2x 1
1
−1 0 1 2
x
■
Del ejemplo 3 se puede observar que la asíntota horizontal está determinada por
los coeficientes principales del numerador y el denominador, puesto que después de
dividir entre x 2 (la potencia más alta de x) los otros términos tienden a cero. En general,
si r1x2 P1x2/Q1x2 y los grados de P y Q son los mismos (ambos n, por