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886 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
pero esta vez la inferencia es errónea. Observe que aunque f 11/n2 sen np 0 para
cualquier entero n, también es cierto que f 1x2 1 para una infinidad de valores de
x que se aproximan a 0. (Véase la gráfica de la figura 7.)
y
1
y=sen(π/x)
_1
1
x
Figura 7
_1
Las líneas discontinuas indican que los valores de sen 1p/x2 oscilan entre 1 y 1
infinitamente cuando x se aproxima a 0. Puesto que los valores de f1x2 no se aproximan
a un número fijo cuando x se aproxima a 0,
lím sen p
x0 x
no existe
■
En el ejemplo 4 se ilustran algunas de las dificultades para inferir el valor de un
límite. Es fácil inferir el valor erróneo si se usan valores inapropiados de x, pero
es difícil saber cuándo dejar de calcular valores. Y, como muestra la explicación después
del ejemplo 2, algunas veces las calculadoras y computadoras dan valores incorrectos.
Sin embargo, en las dos secciones siguientes, se desarrollarán métodos
infalibles para calcular límites.
x
1 1
0.5 4
0.2 25
0.1 100
0.05 400
0.01 10 000
0.001 1 000 000
1
x 2
Ejemplo 5
Hallar
lím
xS0
1
x 2
Un límite que no existe (una función
con una asíntota vertical)
si existe.
Solución Cuando x se aproxima a 0, x 2 también se acerca a 0 y 1/x 2 se vuelve
muy grande. (Véase la tabla al margen.) De hecho, resulta evidente de la gráfica de
la función f1x2 1/x 2 mostrada en la figura 8 que los valores de f1x2 se pueden hacer
arbitrariamente grandes al tomar x lo bastante cerca a 0. Así, los valores de f1x2
no se aproximan a un número, de modo que lím xS0 11/x 2 2 no existe.
y
y= 1 ≈
Figura 8
0
x
■