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418 CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas de números reales
H1t2 100 75e t/20 cosA p 4 tB . Calcule su altura en los tiempos
señalados en la tabla.
de “ángulo-lado-ángulo” de la geometría elemental, los
84. Más fórmulas de reducción Por medio del teorema
triángulos CDO y AOB de la figura son congruentes. Explique
cómo esto demuestra que si B tiene coordenadas 1x, y2,
t H1t2
entonces D tiene coordenadas 1y, x2. Luego explique cómo
0
la figura muestra que las siguientes fórmulas de reducción
1
son válidas.
2
4
6
sen a t p 2 b cos t
8
12
cos a t p 2 b sen t
tan a t p 2 b cot t
Descubrimiento • Debate
83. Fórmulas de reducción Una fórmula de reducción es
una que se usa para “reducir” la cantidad de términos en una
función trigonométrica. Explique cómo la figura muestra
que las siguientes fórmulas de reducción son válidas:
sen1t p2 sen t cos1t p2 cos t
tan1t p2 tan t
y
D(_y, x)
C
y
O
t+ π 2
B(x, y)
t
A 1 x
t+π
(_x, _y)
0
(x, y)
t
1 x
5.3 Gráficas trigonométricas
La gráfica de una función nos proporciona una mejor idea de su comportamiento. De
este modo, en esta sección graficamos las funciones seno y coseno y ciertas transformaciones
de estas funciones. Las otras funciones se grafican en la sección siguiente.
Gráficas de las funciones seno y coseno
Para ayudarnos a graficar las funciones seno y coseno primero observemos que dichas
funciones repiten sus valores según un patrón. Para ver exactamente cómo sucede esto,
recuerde que la circunferencia de un círculo unitario es 2p. Se infiere entonces que
el punto P1x, y2 determinado por el número real t es el mismo que el determinado por
t 2p. Puesto que las funciones seno y coseno se definen en términos de las coordenadas
de P1x, y2 se infiere que sus valores no cambian al añadir cualquier múltiplo
entero de 2p. En otras palabras
sen1t 2np2 sen t
para cualquier entero n
cos1t 2np2 cos t para cualquier entero n