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SECCIÓN 10.4 Cónicas desplazadas 775
F 1
Q 2
P
Q 1
F 2
6. En este problema se prueba que cuando el cilindro es cortado por un plano
se forma una elipse. Un ejemplo arquitectónico de esto es el Tycho Brahe
Planetarium en Copenhage (véase la fotografía). En la figura un plano corta
un cilindro y se obtiene como resultado la curva roja. Dos esferas con el mismo
radio que el cilindro se deslizan dentro de él de modo que sólo tocan el plano
en F 1 y F 2 . Elija un punto arbitrario P sobre la curva y sean Q 1 y Q 2 los dos
puntos sobre el cilindro donde una vertical por P toca el “ecuador” de cada
esfera.
a) Muestre que PF 1 PQ 1 y PF 2 PQ 2 . [Sugerencia: use el hecho de que
las tangentes a una esfera desde un punto dado fuera de la esfera son de la
misma longitud.]
b) Explique por qué PQ 1 PQ 2 es la misma para todos los puntos P sobre
la curva.
c) Muestre que PF 1 PF 2 es la misma para todos los puntos sobre la curva.
d) Concluya que la curva es una elipse con focos F 1 y F 2 .
Bob Krist/Corbis
10.4 Cónicas desplazadas
En secciones anteriores, se estudiaron parábolas con vértices en el origen y elipses e
hipérbolas con centros en el origen. Sólo se revisaron estos casos porque estas ecuaciones
tienen la forma más simple. En esta sección se consideran cónicas cuyos vértices
y centros no están necesariamente en el origen, y se determina cómo esto afecta
a sus ecuaciones.
En la sección 2.4 se estudiaron transformaciones de funciones que tienen el efecto
de desplazar sus gráficas. En general, para cualquier ecuación en x y y, si se remplaza
x por x – h o por x h, la gráfica de la nueva ecuación es simplemente la gráfica
anterior desplazada horizontalmente; si y se reemplaza por y k o por y k, la gráfica
se desplaza verticalmente. En el cuadro siguiente se dan los detalles.