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488 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
6.3 Funciones trigonométricas de ángulos
En la sección precedente se definieron relaciones trigonométricas para ángulos agudos.
Aquí se amplían las relaciones trigonométricas a todos los ángulos definiendo las
funciones trigonométricas de ángulos. Con estas funciones se pueden resolver problemas
prácticos en los que los ángulos no necesariamente son agudos.
Funciones trigonométricas de ángulos
Sea POQ un triángulo rectángulo con ángulo agudo u como se muestra en la figura
1a). Coloque u en la posición estándar como se muestra en la figura 1b).
P
y
P(x, y)
hipotenusa
cateto
opuesto
r
y
Figura 1
O
Q
¨
¨
O
cateto adyacente
x
a) b)
Q
x
Entonces P P1x, y2 es un punto sobre el lado terminal de u. En el triángulo POQ,
el cateto opuesto tiene longitud y y el cateto adyacente tiene longitud x. Por medio
del teorema de Pitágoras se puede observar que la hipotenusa tiene longitud
r 2x 2 y 2 . Por lo tanto,
sen u y r
cos u x r
tan u y x
Las otras relaciones trigonométricas se pueden hallar de la misma forma.
Estas observaciones permiten ampliar las relaciones trigonométricas a cualquier
ángulo. Se definen las funciones trigonométricas de ángulos como sigue
(véase la figura 2).
P(x, y)
r
y
¨
Definición de funciones trigonométricas
Sea u un ángulo en posición estándar y sea P(x, y) un punto sobre el lado terminal.
Si r 2x 2 y 2 es la distancia del origen al punto P(x, y), entonces
0
x
sen u y r
cos u x r
tan u y x
1x 02
Figura 2
csc u r y
1y 02
sec u r x
1x 02
cot u x y
1y 02