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768 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
El sistema LORAN (LOng RAnge Navigation) se usó hasta comienzos de la
década de 1990; ahora ha sido superado por el sistema GPS (véase la página 656). En
el sistema LORAN, las hipérbolas se emplean a bordo de una nave para determinar
su ubicación. En la figura 9 las estaciones de radio en A y B transmiten señales en forma
simultánea para que las reciba la nave en P. La computadora de abordo convierte
la diferencia de tiempo en recepción de estas señales en una diferencia de distancia
d1P, A2 d1P, B2. De la definición de una hipérbola ésta localiza la nave en una rama
de una hipérbola con focos en A y B (bosquejados en negro en la figura). El mismo
procedimiento se lleva a cabo en otras dos estaciones de radio en C y D, y con esto se
localiza a la nave en una segunda hipérbola (mostrada en rojo en la figura). (En la
práctica, sólo se requieren tres estaciones porque una de ellas se puede usar como
foco para ambas hipérbolas.) Las coordenadas del punto de intersección de estas
dos hipérbolas, que pueden ser calculadas con precisión por la computadora, dan la
ubicación de P.
A
P
D
Figura 9
Sistema LORAN para hallar
la ubicación de una nave
B
C
10.3 Ejercicios
1–4 ■ Compare la ecuación con las gráficas marcadas I-IV. Dé
razones para sus respuestas.
I
x 2
1. 2. y 2 x 2
4 y2 1
9 1
3. 16y 2 x 2 144 4. 9x 2 25y 2 225
y
1
2
x
II
y
1
4
x
5–16 ■ Encuentre los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola
y bosqueje su gráfica.
x 2
5. 6.
9 x 2
4 y2
16 1
16 1
y 2
7. y 2 x 2
8.
25 1
x 2
2 y2 1
9. x 2 y 2 1 10. 9x 2 4y 2 36
11. 25y 2 9x 2 225 12. x 2 y 2 4 0
13. x 2 4y 2 8 0 14. x 2 2y 2 3
15. 4y 2 x 2 1 16. 9x 2 16y 2 1
17–22 ■ Encuentre la ecuación para la hipérbola cuya gráfica se
muestra.
17.
y
III
y
1
1
x
IV
y
2
2
x
F⁄
(_4, 0)
F¤
(4, 0)
1
0
1 x