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SECCIÓN 4.1 Funciones exponenciales 341
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
Explosión exponencial
Como ayuda para entender cómo es el crecimiento exponencial explosivo, se
probará un experimento mental.
Suponga que hoy coloca una moneda de un centavo de dólar en su alcancía,
dos centavos mañana, cuatro centavos el siguiente día, etcétera, duplicando el
número de monedas que agrega a la alcancía cada día (véase la tabla). ¿Cuántas
monedas de un centavo habrá colocado en su alcancía en el día 30? La respuesta
es 2 30 centavos. Eso es simple, ¿pero puede adivinar cuántos dólares es esa cantidad?
¡2 30 centavos son más de 10 millones de dólares!
Día
Centavos
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
. .
n 2 n
. .
Como se puede observar, la función exponencial f1x2 2 x crece con extrema
rapidez. Este es el principio detrás de las explosiones atómicas. Cuando un
átomo se divide libera dos neutrones, que causan la división de dos átomos, y
cada uno libera dos neutrones, que a su vez provocan la división de cuatro
átomos, y así sucesivamente. En la n-ésima etapa se dividen 2 n átomos, ¡una
explosión exponencial!
Las poblaciones también crecen de forma exponencial. Veamos qué significa
esto para un tipo de bacteria que se divide cada minuto. Suponga que al
mediodía una sola bacteria coloniza una lata de comida desechada. La bacteria
y sus descendientes son felices, pero temen el momento cuando la lata esté
completamente llena de bacterias, el Día del juicio final.
1. ¿Cuántas bacterias hay en la lata a las 12:05? ¿A las 12:10?
2. La lata está completamente llena de bacterias a la 1:00 P.M. ¿A qué hora la
lata tenía la mitad de bacterias?
3. Cuando la lata tiene la mitad de bacterias, el presidente de la colonia asegura
a sus ciudadanos que está lejos el día del juicio final; después de todo, queda
tanto espacio en la lata como el que se ha usado en toda la historia previa de
la colonia. ¿Está en lo correcto el presidente? ¿Cuánto tiempo queda antes
del Día del juicio final?
4. Cuando la lata está llena a un cuarto, ¿cuánto resta para el Día del juicio
final?
5. Una bacteria sabia decide empezar una nueva colonia en otra lata y reducir
el tiempo de división a 2 minutos. ¿Cuánto tiempo tiene esta nueva colonia?