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SECCIÓN 8.3 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre 597
Ejemplo 2
Graficación de conjuntos
de números complejos
Grafique cada conjunto de números complejos.
a) S 5a bi 0 a 06 b) T 5a bi 0 a 1, b 06
Solución
a) S es el conjunto de números complejos cuya parte real es no negativa. La gráfica
se muestra en la figura 3a).
b) T es el conjunto de números complejos para los cuales la parte real es menor
que 1 y la parte imaginaria es no negativa. La gráfica se muestra en la figura 3b).
Im
Im
0
Re
0
1
Re
Im
bi
œ∑∑∑∑∑∑ a+b
a+bi
b
Figura 3
a)
Recuerde que el valor absoluto de un número real se puede considerar como su
distancia desde el origen en la recta de números reales (véase la sección 1.1). Se define
el valor absoluto para números complejos de una manera similar. Por medio del teorema
de Pitágoras se puede ver de la figura 4 que es la distancia entre a bi y el origen en
el plano complejo es 2a 2 b 2 . Esto conduce a la siguiente definición.
b)
■
0 a
Figura 4
Re
El módulo (o valor absoluto) del número complejo z a bi es
0 z 0 2a 2 b 2
Ejemplo 3
Calcular el módulo
Encuentre los módulos de los números complejos 3 4i y 8 5i.
Im
i
C
|z|=1
Solución
0 3 4i 0 23 2 4 2 125 5
0 8 5i 0 28 2 152 2 189
■
Ejemplo 4
Valor absoluto de números complejos
_1
0
1
Re
Grafique cada conjunto de números complejos.
a) C 5z @ 0 z 0 16 b) D 5z @ 0 z 0 16
Figura 5
_i
Solución
a) C es el conjunto de números complejos cuya distancia desde el origen es 1. Así, C
es un círculo de radio 1 con centro en el origen, como se muestra en la figura 5.