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Modelado con sucesiones recursivas 875
Con el fin de encontrar una fórmula para A n , calculemos los primeros términos de
la sucesión y busquemos un patrón.
A 1 1.005A 0
Vemos que, en general, A n 11.0052 n A 0 .
A 2 1.005A 1 11.0052 2 A 0
A 3 1.005A 2 11.0052 3 A 0
A 4 1.005A 3 11.0052 4 A 0
Ejemplo 1
Crecimiento de la población
Una cierta población de animales crece 2% cada año. La población inicial es de
5000 individuos.
a) Determine una sucesión recursiva que modele la población P n al final del
n-ésimo año.
b) Calcule los primeros cinco términos de la sucesión P n .
c) Plantee una fórmula para P n .
Solución
a) Podemos modelar la población usando la regla siguiente:
población al final de este año 1.02 población al final del último año
Si aplicamos el álgebra podemos escribir esto como una relación recursiva
P n 1.02P n1
b) Puesto que la población inicial es de 5000 individuos, tenemos
P 0 5000
P 1 1.02P 0 11.0225000
P 2 1.02P 1 11.022 2 5000
P 3 1.02P 2 11.022 3 5000
P 4 1.02P 3 11.022 4 5000
c) Vemos a partir del patrón mostrado en el inciso b) que P n 11.022 n 5000. (Observe
que P n es una sucesión geométrica con razón común r 1.02.)
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Ejemplo 2
Dosis diaria de un medicamento
Un paciente tiene que tomar todas las mañanas una píldora de 50 mg de un cierto medicamento.
Se sabe que el organismo elimina el 40% del medicamento cada 24 horas.
a) Determine una sucesión recursiva que modele la cantidad A n del medicamento
en el organismo del paciente después de que toma cada píldora.