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512 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
Área de un triángulo
Una explicación interesante de la ley de los cosenos tiene que ver con una fórmula para
hallar el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus tres lados (véase la figura 8).
B
Fórmula de Herón
A
Figura 8
c
b
a
C
El área de un triángulo ABC está dada por
1s1s a21s b21s c2
donde s 1 2 1a b c2 es el semiperímetro del triángulo; es decir, s es la
mitad del perímetro.
■ Demostración Se inicia con la fórmula 1 2 ab sen C de la sección 6.3.
Por lo tanto,
2 1 4a 2 b 2 sen 2 C
1 4a 2 b 2 11 cos 2 C2
Identidad pitagórica
Factorice
A continuación, se escriben las expresiones 1 cos C y 1 cos C en términos de
a, b y c. Por la ley de los cosenos, se tiene
De manera similar,
1 4a 2 b 2 11 cos C211 cos C2
cos C a2 b 2 c 2
2ab
1 cos C 1 a2 b 2 c 2
2ab
2ab a2 b 2 c 2
2ab
1a b22 c 2
2ab
1a b c21a b c2
2ab
Ley de los cosenos
Sume 1
Común denominador
Factorice
1c a b21c a b2
1 cos C
2ab
Diferencia de cuadrados
Al sustituir estas expresiones en la fórmula obtenida para 2 , se obtiene
Para ver que los factores en los dos
últimos productos son iguales, observe
por ejemplo que
a b c
a b c c
2
2
s c
1a b c21a b c2 1c a b21c a b2
2 1 4 a 2 b 2
2ab
2ab
1a b c2 1a b c2 1c a b2 1c a b2
2
2
2
2
s1s c21s b21s a2
La fórmula de Herón ahora se deduce al sacar raíz cuadrada en cada miembro.
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