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908 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
Diseño de una montaña rusa
Suponga que se le pide diseñar el primer ascenso y descenso de una nueva montaña
rusa. Al estudiar las fotografías de sus montañas rusas favoritas, decide que la
pendiente de ascenso sea 0.8 y la de descenso 1.6. Después, conecta estos dos
tramos rectos y L 1 1x2 y y L 2 1x2 con parte de una parábola
y f1x2 ax 2 bx c
donde x y f1x2 se miden en pies. Para que la pista sea uniforme no puede haber
cambios abruptos de dirección, por lo que desea que los segmentos lineales L 1 y L 2
sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q, como se muestra en
la figura.
L⁄ P
f
Q
L¤
1. Para simplificar las ecuaciones, usted decide colocar el origen en P. Como
consecuencia, ¿cuál es el valor de c?
2. Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Para asegurar
que la pista sea uniforme en los puntos de transición, ¿cuáles deben ser los
valores de f102 y f11002?
3. Si f1x2 ax 2 bx c, muestre que f1x2 2ax b.
4. Use los resultados de los problemas 2 y 3 para determinar los valores de a y
b. Es decir, encuentre una fórmula para f1x2.
5. Grafique L 1 , f y L 2 para comprobar en forma gráfica que las transiciones son
uniformes.
6. Encuentre la diferencia de altura entre P y Q.
12.4 Límites en el infinito; límites de sucesiones
En esta sección se estudia una clase especial de límite conocida como límite en el
infinito. Se examina el límite de una función f1x2 cuando aumenta el valor de x. Se
examina también el límite de una sucesión a n cuando n aumenta. Los límites de
sucesiones se emplearán en la sección 12.5 como ayuda para determinar el área bajo
la gráfica de una función.