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SECCIÓN 1.5 Ecuaciones 51
Ejemplo 8
Uso del discriminante
Utilice el discriminante para determinar cuántas soluciones reales tiene cada
ecuación.
a) x 2 4x 1 0 b) 4x 2 1
12x 9 0 c) 3 x 2 2x 4 0
Solución
a) El discriminante es D 4 2 4112112 20 0, de modo que la ecuación
tiene dos soluciones distintas.
b) El discriminante es D 1122 2 4 # 4 # 9 0 , por lo que la ecuación tiene
exactamente una solución real.
c) El discriminante es D 122 2 4A 1 4
3B4 3 0, entonces la ecuación no
tiene solución real.
En seguida consideramos una situación de la vida real que puede ser modelada
mediante una ecuación cuadrática.
■
Esta fórmula depende del hecho de que
la aceleración de la gravedad es constante
cerca de la superficie terrestre. En
este caso ignoramos el efecto de la resistencia
del aire.
ascenso
descenso
h
Ejemplo 9
Trayectoria de un proyectil
Un objeto arrojado o lanzado hacia arriba con una velocidad inicial √ 0 pies/s alcanzará
un altura de h pies después de t segundos, donde h y t están relacionadas mediante
la fórmula
h 16t 2 √ 0 t
Suponga que se dispara una bala directamente hacia arriba con una velocidad inicial
de 800 pies/s. Su trayectoria se muestra en la figura 2.
a) ¿Cuándo regresará la bala al nivel del piso?
b) ¿Cuándo alcanzará una altura de 6 400 pies?
c) ¿Cuándo alcanzará una altura de 2 millas?
d) ¿Cuál es el punto más alto que alcanza la bala?
Figura 2
6400 pies
Solución Puesto que la velocidad inicial es √ 0 800 pies/s, la fórmula es
h 16t 2 800t
a) El nivel del piso corresponde a h 0, de modo que necesitamos resolver la
ecuación
0 16t 2 800t Se hace h 0
0 16t1t 502 Factorización
Por consiguiente, t 0 o t 50. Esto quiere decir que la bala inicia 1t 02 al
nivel del piso y regresa al mismo nivel después de 50 segundos.
b) Haciendo h 6400 tenemos
6400 16t 2 800t
16t 2 800t 6400 0
t 2 50t 400 0
1t 1021t 402 0
t 10 or o t 40
Se hace h = 6 400
Todos los términos al PM
División entre 16
Descomposición en factores
Solución
La bala alcanza 6400 pies después de 10 s (el ascenso) y otra vez después de 40 s
(en el descenso al suelo).