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SECCIÓN 3.3 Ceros reales de polinomios 275
Ahora se usa la fórmula cuadrática para obtener los dos ceros restantes de P:
50
_3 6
_50
Figura 1
P1x2 x 4 5x 3 5x 2 23x 10
Polinomio
Variación
de signo
x 2 4x 1 0
2x 3 x 6 1
x 4 3x 2 x 4 2
Los ceros de P son 5, 2, 1 12 y 1 12.
b) Ahora que se conocen los ceros de P, se pueden usar los métodos de la sección
3.1 para trazar la gráfica. Si en cambio se quiere usar una calculadora para gráficas,
conocer los ceros permite elegir un rectángulo de visión apropiado, uno
que sea lo suficientemente ancho para contener las intersecciones con el eje x
de P. Las aproximaciones numéricas a los ceros de P son
5, 2, 2.4, and y 0.4
Por lo tanto, en este caso se elige el rectángulo [3, 6] por [50, 50] y se traza
la gráfica mostrada en la figura 1.
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Regla de Descartes de los signos y límites
superiores e inferiores para raíces
En algunos casos, la siguiente regla, descubierta por el filósofo francés y matemático
René Descartes alrededor de 1637 (véase la página 112), es útil para eliminar los
candidatos de listas largas de posibles raíces racionales. Para escribir esta regla, se
necesita el concepto de variación de signo. Si P1x2 es un polinomio con coeficientes
reales, escrito con potencias descendentes de x (y omitiendo las potencias con
coeficiente 0), entonces una variación de signo ocurre siempre que los coeficientes
adyacentes tengan signos opuestos. Por ejemplo,
tiene tres variaciones de signo.
x 2 21222 4112112
2
1 12
P1x2 5x 7 3x 5 x 4 2x 2 x 3
Regla de los signos de Descartes
Sea P un polinomio con coeficientes reales.
1. El número de ceros reales positivos de P1x2 es igual al número de variaciones
de signo en P1x2 o menor que eso por un número entero par.
2. El número de ceros reales negativos de P1x2 es igual al número de variaciones
de signo en P1x2 o es menor que eso por número entero par.
Ejemplo 4
Uso de la regla de Descartes
Use la regla de Descartes de los signos para determinar el número posible de
ceros reales positivos y negativos del polinomio
P1x2 3x 6 4x 5 3x 3 x 3
Solución El polinomio tiene una variación de signo y, por lo tanto, tiene un cero
positivo. Ahora bien
P1x2 31x2 6 41x2 5 31x2 3 1x2 3
3x 6 4x 5 3x 3 x 3
Así, P1x2 tiene tres variaciones de signo. Por lo tanto, P1x2 tiene tres ceros o un
cero negativo, lo que hace un total de dos o cuatro ceros reales.
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