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8.1 Coordenadas polares
8.2 Gráficas de ecuaciones polares
8.3 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre
8.4 Vectores
8.5 Producto punto
Esquema del capítulo
En este capítulo se estudian las coordenadas polares, una nueva forma de describir la
ubicación de puntos en un plano.
Un sistema coordenado es un método para especificar la ubicación de un punto en
el plano. Estamos familiarizados con coordenadas rectangulares (o cartesianas). En
las coordenadas rectangulares la ubicación de un punto está dada por un par ordenado
1x, y2, que da la distancia del punto a dos ejes perpendiculares. Usar coordenadas
rectangulares es como describir una ubicación en una ciudad diciendo que está en la
esquina de la calle 2 y la cuarta avenida. Pero se podría describir también este mismo
lugar diciendo que está una y media millas al noreste del City Hall. Por lo tanto,
en vez de especificar el lugar con respecto a una cuadrícula de calles y avenidas, se
especifica dando su distancia y dirección a partir de un punto de referencia fijo. Eso
es lo que se hace en el sistema de coordenadas polares. En coordenadas polares la
ubicación de un punto está dado por un par ordenado 1r, u2 donde r es la distancia del
origen (o polo) y u es el ángulo desde el eje x positivo (véase la figura a continuación).
y
P(r, ¨)
r
0
¨
x
Courtesy of NASA
¿Por qué se estudian diferentes sistemas coordenados? Porque ciertas curvas se
describen de manera más natural en un sistema coordenado que en otro. En coordenadas
rectangulares se pueden dar ecuaciones simples para líneas, parábolas o curvas
cúbicas, pero la ecuación de un círculo es bastante complicada (y no es una función).
En coordenadas polares, se pueden dar ecuaciones simples para círculos, elipses, rosas
y figuras de números 8: curvas que es difícil describir en coordenadas rectangulares.
Así, por ejemplo, es más natural describir la trayectoria de un planeta alrededor
del Sol en términos de distancia a partir de este astro y el ángulo de desplazamiento,
en otras palabras, en coordenadas polares. También proporcionaremos representaciones
en coordenadas polares de números complejos. Como se verá, es fácil multiplicar
números complejos si se escriben en forma polar.
En este capítulo también se utilizan coordenadas para describir cantidades dirigidas
o vectores. Cuando se habla de temperatura, masa o área, se necesita sólo un número.
Por ejemplo, podemos expresar que la temperatura es de 70ºF. Pero cantidades como
la velocidad o la fuerza son cantidades dirigidas, porque se relacionan con dirección
así como con magnitud. Así, se dice que un bote navega a 10 nudos al noreste. Esto
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