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888 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
Al comparar las definiciones de límites bilaterales y unilaterales, se puede observar
que la siguiente regla es cierta.
lím f1x2 L si y sólo si
xSa
lím f1x2 L y
xSa
lím f1x2 L
xSa
Por lo tanto, si los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, el límite
(bilateral) no existe. Se usa este hecho en los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 6
Límites de una gráfica
y
4
3
1
0
Figura 10
y=˝
1 2 3 4 5
x
La gráfica de una función g se muestra en la figura 10. Utilícela para expresar
los valores (si existen) de lo siguiente:
a) lím g1x2, lím g1x2, lím g1x2
xS2 xS2 xS2
b) lím g1x2, lím g1x2, lím g1x2
xS5 xS5 xS5
Solución
a) De la gráfica se puede observar que los valores de g1x2 se aproximan a 3 cuando
x se aproxima a 2 por la izquierda, pero se aproximan a 1 cuando x se aproxima
a 2 por la derecha. Por lo tanto
lím g1x2 3 y
xS2
lím g1x2 1
xS2
Puesto que los límites izquierdo y derecho son diferentes, se concluye que
lím xS2 g1x2 no existe.
b) La gráfica muestra también que
lím g1x2 2 y
xS5
lím g1x2 2
xS5
Esta vez los límites izquierdo y derecho son los mismos y, por lo tanto, se tiene
lím g1x2 2
xS5
A pesar de este hecho, observe que g152 2.
■
Ejemplo 7
Función definida por partes
Sea f la función definida por
y
4
f 1x2 e 2x2 si x 1
4 x si x 1
Grafique f y emplee la gráfica para hallar lo siguiente:
3
2
1
0 1
x
a) lím f1x2 b) lím f1x2 c)
xS1 xS1
lím f 1x2
xS1
Solución La gráfica de f se muestra en la figura 11. De la gráfica se puede observar
que los valores de f1x2 tienden a 2 cuando x tiende a 1 por la izquierda, pero
tienden a 3 cuando x tiende a 1 por la derecha. Así, los límites izquierdo y derecho
no son iguales. Por lo tanto se tiene
Figura 11
a) lím f1x2 2 b) lím f1x2 3 c) lím f1x2 no existe. ■
xS1 xS1 xS1