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SECCIÓN 3.5 Ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra 291
3.5 Ceros complejos y el teorema
fundamental del álgebra
Ya se ha visto que el polinomio de n-ésimo grado puede tener a lo sumo n ceros
reales. En el sistema de números complejos un polinomio de n-ésimo grado tiene
exactamente n ceros y, por lo tanto, se puede factorizar en exactamente n factores lineales.
Este hecho es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra, el cual
fue probado por el matemático alemán C. F. Gauss en 1799 (véase la página 294).
Teorema fundamental del álgebra y factorización
completa
El siguiente teorema es la base para gran parte del trabajo de factorizar polinomios y
resolver ecuaciones polinomiales.
Teorema fundamental del álgebra
Todo polinomio
P1x2 a n x n a n1 x n1 . . . a 1 x a 0 1n 1, a n 02
con coeficientes complejos tiene por lo menos un cero complejo.
Debido a que cualquier número real es también un número complejo, el teorema
se aplica también a polinomios con coeficientes reales.
El teorema fundamental del álgebra y el teorema del factor muestran que un polinomio
puede ser factorizado por completo en factores lineales, como se demuestra
ahora.
Teorema de factorización completa
Si P1x2 es un polinomio de grado n 1, entonces existen números complejos
a, c 1 , c 2 ,...,c n (con a 0) tales que
P1x2 a1x c 1 21x c 2 2 p 1x c n 2
■ Demostración Por el teorema fundamental del álgebra, P tiene por lo
menos un cero. Sea éste c 1 . Por el teorema del factor, P1x2 se puede factorizar como
P1x2 1x c 1 2 # Q1 1x2
donde Q 1 1x2 es de grado n 1. Al aplicar el teorema fundamental al cociente Q 1 1x2
se obtiene la factorización
P1x2 1x c 1 2 # 1x c2 2 # Q2 1x2
donde Q 2 1x2 es de grado n 2 y c 2 es un cero de Q 1 1x2. Si se continúa con este
proceso para n pasos, se obtiene un cociente final Q n 1x2 de grado 0, una constante
no cero que se llamará a. Esto significa que P ha sido factorizado como
P1x2 a1x c 1 21x c 2 2 p 1x c n 2
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