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SECCIÓN 7.3 Fórmulas para el ángulo doble, mitad de ángulo o semiángulo y producto-a-suma 549
67.
68.
tan 3x 3 tan x tan3 x
1 3 tan 2 x
41sen 6 x cos 6 x2 4 3 sen 2 2x
69. cos 4 x sen 4 x cos 2x
70. tan 2 a x 2 p 4 b 1 sen x
1 sen x
sen x sen 5x
sen 3x sen 7x
71. tan 3x 72.
cot 2x
cos x cos 5x cos 3x cos 7x
sen 10x cos 5x
73.
sen 9x sen x cos 4x
sen x sen 3x sen 5x
74.
tan 3x
cos x cos 3x cos 5x
sen x sen y
75.
cos x cos y tan a x y b
2
sen1x y2 sen1x y2
76. tan y
cos1x y2 cos1x y2
77. Demuestre que sen 130sen 110sen 10.
78. Demuestre que cos 100cos 200sen 50.
79. Demuestre que sen 45sen 15sen 75.
80. Demuestre que cos 87cos 33sen 63.
81. Demuestre la identidad.
sen x sen 2x sen 3x sen 4x sen 5x
tan 3x
cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x
82. Aplique la identidad
n veces para demostrar que
sen 2x 2 sen x cos x
sen12 n x2 2 n sen x cos x cos 2x cos 4x . . . cos 2 n1 x
sen 3x cos 3x
83. a) Grafique f1x2 y plantee una conjetura.
sen x cos x
b) Demuestre la conjetura que planteó en el inciso a).
84. a) Grafique f1x2 cos 2x 2 sen 2 x y haga una conjetura.
b) Demuestre la conjetura que formuló en el inciso a).
85. Sea f1x2 sen 6x sen 7x.
a) Grafique y f1x2.
b) Verifique que f1x2 2 cos 1 13
2 x sen 2 x .
c) Grafique y 2 cos 1 y y 2 cos 1 2 x
2 x , junto con la
gráfica del inciso a) en el mismo rectángulo de visión.
¿Cuál es la relación entre estas gráficas y la gráfica de f?
86. Sea 3x p/3 y y cos x. Utilice el resultado del ejemplo 2
para mostrar que y cumple con la ecuación
8y 3 6y 1 0
NOTA Esta ecuación tiene raíces de cierta clase que se
utilizan para demostrar que el ángulo p/3 no se puede trisecar
usando sólo una regla y compás.
87. a) Demuestre que hay un polinomio P1t2 de cuarto grado tal
que cos 4x P1cos x2 (véase ejemplo 2).
b) Demuestre que hay un polinomio Q1t2 de quinto grado tal
que cos 5x Q1cos x2.
NOTA En general, hay un polinomio P n 1t2 de grado n tal
que cos nx P n 1cos x2. Estos polinomios se denominan
polinomios de Tchebycheff, en honor al matemático ruso P. L.
Tchebycheff (1821-1894).
88. En el triángulo ABC (véase la figura) el segmento de recta s
biseca el ángulo C. Demuestre que la longitud de s se determina
mediante
2ab cos x
s
a b
[Sugerencia: aplique la ley de los senos.]
C
B
a
x
89. Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, demuestre que
sen 2A sen 2B sen 2C 4 sen A sen B sen C
90. Se desea inscribir un rectángulo en un semicírculo de radio
igual a 5 cm, según se muestra en la figura.
a) Demuestre que el área del rectángulo está modelada por
la función
A1u2 25 sen 2u
b) Encuentre el área más grande posible para tal rectángulo
inscrito.
c) Calcule las dimensiones del rectángulo inscrito con el
área más grande posible.
Aplicaciones
x
s
¨
5 cm
91. Corte de una viga de madera Se desea cortar una viga
de sección rectangular de un madero cilíndrico de 20 pulg de
diámetro.
a) Demuestre que el área de la sección transversal de la
viga está modelada por la función
A1u2 200 sen 2u
donde u es como se ilustra en la figura de la página
siguiente.
b
A