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SECCIÓN 9.8 Fracciones parciales 715
b) Calcule el área del triángulo rojo mediante la diferencia
de áreas de los tres triángulos azules y el área del
rectángulo.
c) Mediante esta respuesta del inciso b) muestre que el
área del triángulo rojo está dada por
y
0
a 1 b 1 1
1
área 2 † a 2 b 2 1 †
a 3 b 3 1
(a⁄, b⁄)
60. Puntos colineales y determinantes
a) Si tres puntos quedan sobre una recta, ¿cuál es el área
del “triángulo” que definen? Utilice la respuesta a esta
pregunta junto con la fórmula del determinante que da
el área de un triángulo para explicar por qué los puntos
1a 1 , b 1 2, 1a 2 , b 2 2 y 1a 3 , b 3 2 son colineales si y sólo si
†
(a‹, b‹)
a 1 b 1 1
a 2 b 2 1 † 0
a 3 b 3 1
(a¤, b¤)
x
b) Utilice un determinante para verificar si cada conjunto
de puntos es colineal. Grafíquelos para comprobar su
respuesta.
i)
ii)
16, 42, 12, 102, 16, 132
15, 102, 12, 62, 115, 22
61. Ecuación de una recta en forma de determinante
a) Mediante el resultado del ejercicio 60a) muestre que la
ecuación de la recta que contiene los puntos 1x 1 , y 1 2 y
1x 2 , y 2 2 es
x y 1
† x 1 y 1 1 † 0
x 2 y 2 1
b) Utilice el resultado del inciso a) para encontrar una
ecuación para la recta que contiene los puntos 120, 502
y 110, 252.
62. Matrices con determinante cero Utilice la definición
de determinante y las operaciones elementales con renglones
y columnas para explicar por qué el determinante de las
matrices de los tipos siguientes es 0.
a) Una matriz con un renglón o una columna que consiste
totalmente en ceros.
b) Una matriz con dos renglones iguales o dos columnas
iguales
c) Una matriz en la cual un renglón es múltiplo de otro
renglón, o bien, una columna es un múltiplo de
otra columna.
63. Resolución de sistemas lineales Suponga que tiene
que resolver un sistema lineal con cinco ecuaciones y cinco
variables sin la ayuda de calculadora ni computadora. ¿Qué
método preferiría: la regla de Cramer o la eliminación de
Gauss? Escriba una breve explicación acerca de las razones
que sustentan su respuesta.
9.8 Fracciones parciales
Para escribir una suma o diferencia de expresiones fraccionarias como una sola fracción,
se busca un denominador común. Por ejemplo,
1
x 1 1 12x 12 1x 12 3x
2x 1 1x 1212x 12 2x 2 x 1
Común denominador
1 1
+ = 3x
x-1 2x+1 2x 2 -x-1
Fracciones parciales
Pero para el caso de algunas aplicaciones del álgebra al cálculo, es necesario revisar
este proceso, es decir, se debe expresar una fracción como 3x/12x 2 x 12 como
la suma de fracciones más sencillas 1/1x 12 y 1/12x 12. Estas fracciones más
sencillas se llaman fracciones parciales. En esta sección se estudia la manera de
determinarlas.