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504 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
Se consideran sólo ángulos más pequeños
que 180, puesto que ningún ángulo
puede contener un ángulo de 180 o
más grande.
¿Cuáles ángulos B tiene sen B 1 2? De la sección anterior se sabe que hay dos
ángulos más pequeños que 180 (estos son 30 y 150). ¿Cuál de estos ángulos es
compatible con lo que se sabe acerca del triángulo ABC? Puesto que A 45, no
se puede tener B 150, porque 45150180. Por lo tanto, B 30, y el
ángulo restante es C 180° 130° 45°2 105° .
Ahora se puede hallar el lado c.
sen B
b
sen C
c
c b sen C
sen B
7 sen 105°
sen 30°
7 sen 105°
13.5
1
2
Ley de los senos
Despeje c
■
El complemento de un ángulo u (donde
0 u 180) es el ángulo 180u.
En el ejemplo 3 hubo dos posibilidades para el ángulo B, y una de éstas no fue
compatible con el resto de la información. En general, si sen A 1, se debe comprobar
el ángulo y su complemento como posibilidades, porque cualquier ángulo más
pequeño que 180 puede estar en el triángulo. Para decidir si cualquiera de las posibilidades
funciona, se comprueba si la suma resultante de los ángulos excede 180.
Puede suceder, como en la figura 6(c), que ambas posibilidades son compatibles con
la información dada. En ese caso, dos triángulos diferentes son soluciones del problema.
Alan Oddie/PhotoEdit
La agrimensura es un método de
medición del suelo usado para elaborar
mapas. Los agrimensores
usan un proceso llamado triangulación
en el que se crea una red de
miles de triángulos entrelazados en
el área de la cual se elaborará un
mapa. Se inicia el proceso midiendo
la longitud de una línea base entre
dos estaciones de agrimensura.
Entonces, usando un instrumento
llamado teodolito, se miden los ángulos
entre estas dos estaciones y
una tercera estación. Entonces se
usan las leyes de los senos para
calcular los otros dos lados del
triángulo formado por las tres estaciones.
Los lados calculados se
utilizan como líneas base, y el proceso
se repite una y otra vez para crear
una red de triángulos. En este método,
la única distancia medida
(continúa)
Ejemplo 4
LLA, el caso de dos soluciones
Resuelva el triángulo ABC si A 43.1, a 186.2 y b 248.6.
Solución De la información dada se bosqueja el triángulo mostrado en la figura 8.
Hay que observar que el lado a se puede dibujar en dos posiciones posibles para
completar el triángulo. De la ley de los senos
sen B b sen A
a
b=248.6
43.1*
248.6 sen 43.1°
186.2
a=186.2
a=186.2
A B⁄
Figura 8
B¤
Hay dos posibles ángulos B entre 0 y 180 tal que si sen B 0.91225. Por medio de
la tecla SEN 1 en una calculadora (o INV SEN o ARCSEN ), se encuentra
que uno de estos ángulos es aproximadamente 65.8. El otro es aproximadamente
18065.8114.2. Se denotan estos ángulos por B 1 y B 2 , de modo que
B 1 65.8° y B 2 114.2°
C
0.91225