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12.1 Determinación de límites de forma numérica y gráfica
12.2 Determinación algebraica de límites
12.3 Rectas tangentes y derivadas
12.4 Límites en el infinito; límites de sucesiones
12.5 Áreas
A⁄
Afi
A¤
A‹ A›
A=A⁄+A¤+A‹+A›+Afi
Esquema del capítulo
En este capítulo se estudia la idea central subyacente al cálculo, el concepto de límite.
El cálculo se emplea para modelar numerosos fenómenos de la vida real, en particular
situaciones relacionadas con cambio o movimiento. Para entender la idea básica de
límites considérense dos ejemplos fundamentales.
Para hallar el área de una figura poligonal simplemente se divide en triángulos y
se suman sus áreas, como se muestra en la figura que se encuentra a la izquierda. Sin
embargo, es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos. Una manera
es aproximar el área inscribiendo polígonos en la región. En la figura se ilustra
cómo se hace esto para un círculo.
A‹ A› Afi Afl A‡ ... A⁄¤ ...
Karl Ronstrom/Reuters/Landov
Si A n es el área del polígono regular inscrito con n lados, entonces se puede observar
que cuando n aumenta, A n se aproxima cada vez más al área del círculo. Se dice
que el área A del círculo es el límite de las áreas A n y se escribe
área lím A n
nSq
En caso de hallar un patrón para las áreas A n , entonces se podría determinar el límite
A de manera exacta. En este capítulo se usa una idea similar para hallar las áreas de
regiones acotadas por gráficas de funciones.
En el capítulo 2 se aprendió cómo hallar la tasa de cambio promedio* de una
función. Por ejemplo, para hallar la velocidad promedio se divide la distancia total
recorrida entre el tiempo total. Pero, ¿cómo se puede encontrar la velocidad instantánea;
es decir, la velocidad en un determinado instante? No se puede dividir la distancia
total recorrida entre el tiempo total, ¡porque en un instante la distancia total
recorrida es cero y el tiempo total empleado en el recorrido es cero! Pero se puede
hallar la tasa de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños mediante
una ampliación en el instante deseado. Por ejemplo, suponga que f1t2 proporciona la
distancia que un automóvil ha recorrido en el tiempo t. Para determinar la velocidad
del automóvil exactamente a las 2:00 P.M., se halla primero la velocidad promedio
en un intervalo de 2 y un poco después de 2, es decir, en el intervalo 32, 2 h4. Se
sabe que la velocidad promedio en este intervalo es 3f12 h2 f1224/h. Al determinar
esta velocidad promedio para valores cada vez más pequeños de h (permitiendo
*A la tasa de cambio también se le llama razón de cambio, y puede ser promedio o instantánea.
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