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554 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica
Ejemplo 5
Combinación de funciones
trigonométricas y sus inversas
1
¨
x
Figura 7
cos u x 1 x
œ∑∑∑∑∑ 1-≈
Escriba sen1cos 1 x2 y tan1cos 1 x2 como expresiones algebraicas en x para
1 x 1.
Solución 1 Sea u cos 1 x. Es necesario encontrar sen u y tan u en términos
de x. Como en el ejemplo 3, la idea en este caso es escribir el seno y la tangente en
términos del coseno. Tenemos que
sen u 21 cos 2 u y tan u sen u
cos u 21 cos2 u
cos u
Para elegir los signos adecuados, observe que u está en el intervalo [0, p] porque
u cos 1 x. Como sen u es positivo en este intervalo, el signo es la elección
correcta. Al sustituir u cos 1 x en las ecuaciones mostradas y aplicar la relación
cos1cos 1 x2 x tenemos
sen1cos 1 x2 21 x 2 y tan1cos 1 x2 21 x 2
Solución 2 Sea u cos 1 x, de modo que cos u x. En la figura 7 hay un triángulo
rectángulo con un ángulo agudo u, cateto adyacente x e hipotenusa igual a 1. Según
el teorema de Pitágoras, el cateto faltante mide 21 x 2 . De acuerdo con la
figura,
sen1cos 1 x2 sen u 21 x 2 y tan1cos 1 x2 tan u 21 x 2
■
x
NOTA En la solución 2 del ejemplo 5 podría parecer que como estamos dibujando,
el ángulo u cos 1 x debe ser agudo. Pero resulta que el método del triángulo
funciona para cualquier u y para cualquier x. Los dominios y los rangos de las seis
funciones trigonométricas inversas han sido escogidos de tal manera que podemos
usar siempre un triángulo para determinar S1T 1 1x22, donde S y T son funciones trigonométricas
cualquiera.
x
1
œ∑∑∑∑∑ 1-≈
Ejemplo 6
Combinación de función trigonométrica
y una inversa
Escriba sen12 cos 1 x2 como una expresión algebraica en x para 1 x 1.
Solución Sea u cos 1 x y dibuje un triángulo como el mostrado en la figura 8.
Necesitamos determinar sen 2u, pero a partir del triángulo podemos determinar
funciones trigonométricas sólo de u, no de 2u. La identidad del ángulo doble para
el seno es útil en este caso. Tenemos entonces
¨
x
Figura 8
cos u x 1 x
sen12 cos 1 x2 sen 2u
2 sen u cos u
2A21 x 2 B x
2
2x21 x
Fórmula para el ángulo doble
Según el triángulo
■
La función inversa de la tangente
Restringimos el dominio de la función tangente al intervalo 1p/2, p/22 con objeto
de obtener una función uno a uno.