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SECCIÓN 12.5 Áreas 923
El límite se puede calcular también
escribiendo
125 n1n 1212n 12
#
n 3 6
125
6 a n n ban 1 ba 2n 1 b
n n
como en el ejemplo 2.
Ahora se sustituyen estos valores en la definición de área:
n
A lím a f1x k 2 ¢x
nq k1
n
25k 2
lím # 5 a nq k1 n 2 n
n
125k 2
lím a nq k1
n
125
lím
nq n 3 a k 2
k1
lím
nq
Definición de área
f 1x k 2 25k 2
n , ¢x 5 2 n
Simplifique
n 3
125 n1n 1212n 12
#
3
n 6
12512n 2 3n 12
lím
nq 6n 2
125
lím
nq 6 a 2 3 n 1 n b 2
125
125
12 0 02
6 3
125
Factorice
Fórmula de suma de cuadrados
Cancele n y desarrolle el numerador
Divida numerador y denominador entre n 2
Haga que n q
Así, el área de la región es 3 41.7. ■
125
n 3
En la figura 14 se muestra la región
cuya área se calcula en el ejemplo 4.
y
0 1 3 4
Figura 14
y=4x-≈
x
Ejemplo 4
Hallar el área bajo una curva
Calcule el área de la región que yace bajo la parábola y 4x x 2 ,1 x 3.
Solución Se comienza por hallar las dimensiones de los rectángulos de aproximación
en la n-ésima etapa.
Ancho:
Punto final derecho:
Altura:
¢x b a
n
3 1
n
x k a k ¢x 1 k a 2 n b 1 2k
n
f1x k 2 f a 1 2k
n b 4 a 1 2k
n b a 1 2k
n b 2
4 8k
n 1 4k
n 4k 2
n 2
3 4k
n 4k 2
n 2
Así, de acuerdo con la definición de área, se obtiene
2 n
n
n
A lím a f1x k 2 ¢x lím a a 3 4k
nq k1
nq k1
n 4k2
n ba2 2 n b
n
lím a
nq a 3 4 n
k1
n a k 4 n
k1 n 2 a k 2 ba 2
k1
n b