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334 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
3000
Ejemplo 8
Un modelo exponencial para la diseminación
de un virus
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con
10 000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al
virus se modela mediante la función
√1t2
10,000
5 1245e 0.97t
a) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente (en el tiempo t 0)?
b) Calcule el número de personas infectas después de un día, dos días y cinco días.
c) Grafique la función √ y describa su comportamiento.
Solución
a) Puesto que √102 10,000/15 1245e 0 2 10,000/1250 8, se concluye que
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Utilice una calculadora para evaluar √112, √122 y √152, y después redondee para
obtener los siguientes valores.
Días
Personas infectadas
0 12
Figura 8
10,000
√1t2
5 1245e 0.97t
1 21
2 54
5 678
c) De la gráfica en la figura 8, se puede observar que el número de personas infectadas
primero se eleva en forma lenta; luego aumenta con rapidez entre el
día 3 y el día 8, y luego se estabiliza cuando están infectadas cerca de 2000
personas.
■
La gráfica de la figura 8 se llama curva logística o modelo de crecimiento logístico.
Curvas como éstas ocurren con frecuencia en el estudio del crecimiento poblacional.
(Véanse los ejercicios 69-72.)
Interés compuesto
Las funciones exponenciales aparecen en el cálculo del interés compuesto. Si la cantidad
de dinero P, conocido como principal, se invierte a una tasa de interés i por periodo,
entonces después de un periodo el interés es Pi, y la cantidad de dinero A es
A P Pi P11 i2
Si se reinvierte el interés, entonces el nuevo principal es P11 i2, y la cantidad después
de otro periodo es A P11 i211 i2 P11 i2 2 . De manera similar,
después de un tercer periodo la cantidad es A P11 i2 3 . En general, después de k
periodos la cantidad es
A P11 i2 k
Hay que observar que ésta es una función exponencial con base 1 i.
Si la tasa de interés anual es r y si el interés se compone n veces por año, entonces
en cada periodo la tasa de interés es i r/n, y hay nt periodos en t años. Esto conduce
a la siguiente fórmula para la cantidad después de t años.