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SECCIÓN 3.6 Funciones racionales 315
79. El efecto Doppler Cuando un tren se mueve hacia un
observador (véase la figura), el tono de su silbato suena más
alto para el observador que si el tren estuviera en reposo,
porque las ondas sonoras están más cerca unas de otras. Este
fenómeno se llama efecto Doppler. El tono P observado es
una función de la velocidad √ del tren y se expresa como
donde P 0 es el tono real del silbato en la fuente y s 0 332
es la velocidad del sonido en el aire. Suponga que un tren
tiene un silbato establecido en P 0 440 Hz. Grafique la
función y P1√2 por medio de un dispositivo de graficación.
¿Cómo se puede interpretar físicamente la asíntota
vertical de esta función?
s 0
P1√2 P 0 a
s 0 √ b
Descubrimiento • Debate
81. Construcción de una función racional a partir de sus
asíntotas Dé un ejemplo de una función racional que tiene
asíntota vertical x 3. Ahora dé un ejemplo de una que
tiene asíntota vertical x 3 y asíntota horizontal y 2.
Ahora dé un ejemplo de una función racional con asíntotas
verticales x 1 y x 1, asíntota horizontal y 0, e
intersección con el eje x igual a 4.
82. Una función racional sin ninguna asíntota Explique
cómo puede decir (sin graficarla) que la función
r1x2
x 6 10
x 4 8x 2 15
no tiene intersección con el eje x ni asíntota horizontal, vertical
o inclinada. ¿Cuál es su comportamiento extremo?
83. Gráficas con discontinuidades En este capítulo se
adoptó la convención de que en las funciones racionales,
el numerador y el denominador no comparten un factor
común. En este ejercicio se considera la gráfica de una función
racional que no satisface esta regla.
a) Muestre que la gráfica de
80. Distancia de foco Para que una cámara con una lente
de longitud focal fija F se enfoque en un objeto localizado
a una distancia x de la lente, la película se debe colocar a
una distancia y detrás de la lente, donde F, x y y se relacionan
por
1
x 1 y 1 F
(Véase la figura.) Suponga que la cámara tiene una lente de
55 mm (F 55).
a) Exprese a y como una función de x y grafique la función.
b) Qué sucede con la distancia de enfoque y cuando el objeto
se aleja de la lente
c) ¿Qué sucede con la distancia de enfoque y cuando el
objeto se acerca a la lente?
r1x2 3x 2 3x 6
x 2
es la recta y 3x 3 con el punto (2, 9) eliminado.
[Sugerencia: Factorice. ¿Cuál es el dominio de r?]
b) Grafique las funciones racionales:
s1x2 x 2 x 20
x 5
t1x2 2x2 x 1
x 1
u 1x2 x 2
x 2 2x
84. Transformaciones de y 1/x 2 En el ejemplo 2 se vio
que algunas funciones racionales simples se pueden graficar
desplazando, alargando o reflejando la gráfica de y 1/x.
En este ejercicio se consideran funciones racionales que se
pueden graficar transformando la gráfica de y 1/x 2 ,
mostrada en la página siguiente.
a) Grafique la función
x
F
y
r1x2
1
1x 22 2
transformando la gráfica de y 1/x 2 .