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832 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
puesto mensualmente. La cantidad en la cuenta después de n
meses se determina mediante la sucesión.
A n 2000 a 1 0.024 n
12 b
a) Determine los primeros seis términos de la sucesión.
b) Calcule la cantidad en la cuenta después de tres años.
70. Interés compuesto Helen deposita 100 dólares al final de
cada mes en una cuenta que da el 6% de interés anual compuesto
mensualmente. La cantidad de intereses que acumuló
después de n meses se representa mediante la sucesión
I n 100 a 1.005n 1
n b
0.005
a) Calcule los primeros seis términos de la sucesión.
b) Calcule la cantidad de intereses que acumuló después de
cinco años.
71. Población de una ciudad Una ciudad con una población
de 35 000 fue incorporada en 2004. Se espera que la población
crezca a una tasa de 2% anual. La población n años
después de 2004 se representa mediante la sucesión
P n 35 00011.022 n
a) Calcule los primeros cinco términos de la sucesión.
b) Determine cuál será la población en 2014.
72. Pago de una deuda Margarita pide prestados 10 000 dólares
a su tío y queda de acuerdo en pagar parcialidades de
200 dólares. Su tío carga un interés de 0.5% por mes en el
balance
a) Muestre que el balance A n en el n-ésimo mes está dado
recursivamente por A 0 10 000 y
A n 1.005A n1 200
b) Determine el balance después de seis meses.
73. Granja piscícola Un piscicultor tiene 5000 bagres en su
estanque. La cantidad de bagres aumenta 8% cada mes, y el
piscicultor cosecha 300 bagres todos los meses.
a) Demuestre que la población de bagres P n después de n
meses está dada recursivamente por P 0 5000 y
P n 1.08P n1 300
b) ¿Cuántos bagres hay en el estanque después de 12 meses?
74. Precio de una casa El precio medio de una casa en el
condado de Orange se incrementa en alrededor de 6% al año.
En 2002, el precio medio era de 240 000 dólares. Sea P n el
precio medio n años después de 2002.
a) Plantee una fórmula para la sucesión de P n .
b) Determine el precio medio esperado en 2010.
75. Incrementos al salario A un vendedor recién contratado
se le prometió un salario inicial de 30 000 dólares al año
con un aumento de 2000 dólares cada año. Sea S n su salario
en su n-ésimo año de empleo.
a) Encuentre una definición recursiva para S n .
b) Determine el salario del vendedor en el quinto año de
empleo.
76. Concentración de una solución Una bióloga está tratando
de encontrar la concentración de sal óptima para el
crecimiento de cierta especie de molusco. Empezó con una
salmuera que contiene 4 g/L de sal y aumenta la concentración
10% todos los días. Sea C 0 la concentración inicial y
C n la concentración después de n días.
a) Encuentre una definición recursiva de C n .
b) Calcule la concentración de sal después de 8 días.
77. Conejos de Fibonacci Fibonacci planteó el siguiente
problema: suponga que los conejos viven por siempre y
que cada mes cada pareja produce un nuevo par, el cual ya
es productivo a los dos meses. Si se empieza con un par de
conejos recién nacidos, ¿cuántos pares de conejos habrá en
el n-ésimo mes? Demuestre que la respuesta es F n , donde
F n es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.
Descubrimiento • Debate
78. Sucesiones distintas que empiezan igual
a) Demuestre que los primeros cuatro términos de la
sucesión a n n 2 son
1, 4, 9, 16, . . .
b) Demuestre que los primeros cuatro términos de la
sucesión a n n 2 1n 121n 221n 321n 42
también son
1, 4, 9, 16, . . .
c) Encuentre una sucesión cuyos primeros seis términos
sean iguales a los de a n n 2 , pero cuyos términos
siguientes sean distintos de los de esta sucesión.
d) Encuentre dos secuencias diferentes que empiecen con
2, 4, 8, 16, . . .
79. Una sucesión definida recursivamente Calcule los
primeros 40 términos de la sucesión definida por
y a 1 11. Haga lo mismo con a 1 25. Plantee una conjetura
con respecto a este tipo de sucesión. Trate varios otros
valores para a 1 con el fin de probar su conjetura.
80. Un tipo diferente de recursión Encuentre los primeros
10 términos de la sucesión definida por
con
a n
a n1 c 2
3a n 1
si a n es un número par
si a n es un número impar
a n a nan1
a nan2
a 1 1 y a 2 1
¿Cuál es la diferencia entre esta sucesión recursiva y las
otras de esta sección?