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SECCIÓN 8.2 Gráficas de ecuaciones polares 591
que indican el orden en el que se trazan las porciones. La curva resultante tiene
cuatro pétalos y se llama rosa de cuatro hojas.
r
1
1
4
5
8
3π
¨=
4
4
7
π
¨=
2
6
1
¨= π 4
0
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
7π
4
2π
¨
¨=π
5
8
¨=0
_1
2
3
6 7
2
3
Figura 7 Figura 8
Gráfica de r cos 2u bosquejada en
Rosa de cuatro hojas r cos 2u
coordenadas rectangulares bosquejada en coordenadas polares ■
En general, la gráfica de una ecuación de la forma
r a cos nu o r a sen nu
es una rosa de n hojas si n es impar o una rosa de 2n hojas si n es par (como en el
ejemplo 5).
Simetría
Al graficar una ecuación polar, suele ser útil aprovechar la simetría. Se listan tres
pruebas para simetría; en la figura 9 se muestra por qué funcionan estas pruebas.
Pruebas para simetría
1. Si una ecuación polar permanece sin cambio al sustituir u por u, entonces
la gráfica es simétrica con respecto al eje polar (figura 9a)).
2. Si la ecuación no se modifica cuando se sustituye r por r, entonces la
gráfica es simétrica respecto al polo (figura 9b)).
3. Si la ecuación no cambia cuando se sustituye u por p u, la gráfica es
simétrica respecto a la línea vertical u p/2 (el eje y) (fig. 9c)).
π
¨= 2
(r, ¨)
(r, π _ ¨)
(r, ¨)
O
¨
_¨
(r, _¨)
(_r, ¨)
a) Simetría respecto al eje polar b) Simetría respecto al polo
O
(r, ¨)
π-¨
¨
O
c) Simetría respecto a la línea
¨= π 2
Figura 9