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SECCIÓN 8.2 Gráficas de ecuaciones polares 589
2π
3
4π
3
Figura 3
O
π
3
π
¨= 3
π
3
5π
3
la figura 3). Observe que los puntos 1r, p/32 en la recta con r 0 se encuentra en
el cuadrante I, mientras que aquellos con r 0 se localizan en el cuadrante III. Si el
punto 1x, y2 está en esta recta, entonces
Así, la ecuación rectangular de la recta de y 13 x.
Para bosquejar una curva polar cuya gráfica no es tan obvia como las de los ejemplos
anteriores, se grafican puntos calculados para una cantidad suficiente de valores
de u y luego se unen en una curva continua. (Esto es lo que se hizo cuando se aprendió
a graficar funciones en coordenadas rectangulares.)
Ejemplo 3
y
x tan u tan p 3 13
Bosquejar la gráfica de una ecuación polar
Bosqueje la gráfica de la ecuación polar r 2 sen u.
Solución Se usa primero la ecuación para determinar las coordenadas polares de
varios puntos en la curva. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
■
u 0 p/6 p/4 p/3 p/2 2p/3 3p/4 5p/6 p
r 2 sen u 0 1 12 13 2 13 12 1 0
Se grafican estos puntos en la figura 4 y luego se unen para bosquejar la curva. La
gráfica aparece como un círculo. Se han empleado valores de u sólo entre 0 y p,
puesto que se habrían obtenido los mismos puntos (esta vez expresado con coordenadas
r negativas) si se permite que u varíe de p a 2p.
La ecuación polar r 2 sen u
en coordenadas rectangulares es
x 2 1y 12 2 1
(Véase la sección 8.1, ejemplo 6b).
De la forma rectangular de la ecuación
se puede observar que la gráfica es un
círculo de radio 1 centrado en 10, 12.)
Figura 4
r 2 sen u
■
En general, las gráficas de ecuaciones de la forma
r 2a sen u y r 2a cos u
son círculos con radio 0 a 0 centrados en los puntos con coordenadas polares 1a, p/22
y 1a, 02, respectivamente.