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SECCIÓN 10.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 803
entonces. Sólo dos años después
murió el padre de Agnesi y ella dejó
las matemáticas por completo.
Decidió volverse monja y dedicó el
resto de su vida y riqueza al cuidado
de los enfermos y mujeres moribundas.
Murió en la pobreza en
una casa humilde de la cual había
sido directora alguna vez.
Eliminación del parámetro
Con frecuencia una curva dada por ecuaciones paramétricas se puede representar
también mediante una sola ecuación rectangular en x y y. El proceso de hallar esta
ecuación se llama eliminación del parámetro. Una manera de hacer esto es despejar
t en una ecuación, luego sustituir en la otra.
Ejemplo 2
Eliminar el parámetro
Elimine el parámetro en las ecuaciones paramétricas del ejemplo 1.
Solución Primero se despeja t en la ecuación más simple, luego se sustituye en
la otra ecuación. De la ecuación y t 1, se obtiene t y 1. Al sustituir en la
ecuación para x, se obtiene
x t 2 3t 1y 12 2 31y 12 y 2 y 2
Así, la curva del ejemplo 1 tiene ecuación rectangular x y 2 y 2, por lo tanto
es una parábola.
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Eliminar el parámetro ayuda con frecuencia a identificar la forma de la curva, como
se puede observar en los dos ejemplos siguientes.
t=π
Figura 4
3π
t=
2
y
π
t= 2
(ç t, sen t)
t
t=0
0 0) x
t=2π
Ejemplo 3
Eliminar el parámetro
Describa y grafique la curva representada por las ecuaciones paramétricas
x cos t y sen t 0 t 2p
Solución Para identificar la curva, se elimina el parámetro. Puesto que
cos 2 t sen 2 t 1 y puesto que x cos t y y sen t para todo punto (x, y) sobre
la curva, se tiene
x 2 y 2 1cos t2 2 1sen t2 2 1
Esto significa que los puntos sobre la curva satisfacen la ecuación x 2 y 2 1, de
modo que la gráfica es un círculo de radio 1 centrado en el origen. Cuando t se
incrementa de 0 a 2p, el punto dado por las ecuaciones paramétricas comienza en
(1, 0) y se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj una vez alrededor
del círculo, como se muestra en la figura 4. Observe que el parámetro t se puede
interpretar como el ángulo mostrado en la figura.
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Ejemplo 4 Bosquejar una curva paramétrica
Elimine el parámetro y bosqueje la gráfica de las ecuaciones paramétricas
x sen t y 2 cos 2 t
Solución Para eliminar el parámetro, se emplea primero la identidad trigonométrica
cos 2 t 1 sen 2 t para cambiar la segunda ecuación:
y 2 cos 2 t 2 11 sen 2 t2 1 sen 2 t
Ahora se puede sustituir sen t x de la primera ecuación para obtener
y 1 x 2