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SECCIÓN 9.9 Sistemas de desigualdades 723
y
(5, 5)
La verificación señala que los puntos arriba de la recta satisfacen la desigualdad.
Otra posibilidad es expresar la desigualdad como cuando tenemos pendiente y
ordenada en el origen, y graficarla directamente:
1
0
Figura 4
1
x+2y≥5
x
x 2y 5
2y x 5
1
y 2 x 5 2
De acuerdo con esta forma vemos que la gráfica incluye todos los puntos cuya
1
coordenada y son mayores que los que se encuentran en la recta y 2 x 5 2; es
decir, la gráfica consiste en los puntos de esta recta o arriba de ella, como se ilustra
en la figura 4.
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Sistemas de desigualdades
Ahora consideremos los sistemas de desigualdades. La solución de tal sistema es el
conjunto de todos los puntos en el plano coordenado que cumplen toda desigualdad
del sistema.
Ejemplo 2
Un sistema de dos desigualdades
Grafique la solución del sistema de desigualdades.
y
e x 2 y 2 25
x 2y 5
0
x
Solución Son las dos desigualdades del ejemplo 1. En este ejemplo queremos graficar
sólo los puntos que satisfacen en forma simultánea ambas desigualdades. La
solución consiste en la intersección de las gráficas del ejemplo 1. En la figura 5a)
mostramos las dos regiones en el mismo plano coordenado, pero con diferentes
colores, y en la figura 5b) mostramos la intersección.
VÉRTICES Los puntos 13, 42 y 15, 02 de la figura 5b) son los vértices del conjunto
solución. Se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones
a)
e x 2 y 2 25
x 2y 5
y
(_3, 4)
Resolvemos este sistema de ecuaciones mediante sustitución. Al despejar x de la
segunda ecuación tenemos x 5 2y, y al sustituir lo anterior en la primera ecuación
tenemos
0
(5, 0)
x
15 2y2 2 y 2 25
125 20y 4y 2 2 y 2 25
20y 5y 2 0
5y14 y2 0
Sustitución de x 5 2y
Desarrollo
Simplificación
Factorización
b)
Figura 5
e x 2 y
2 25
x 2y 5
Por lo tanto, y 0 o y 4. Cuando y 0, tenemos que x 5 2102 5, y cuando
y 4, tenemos x 5 2142 3. Entonces, los puntos de intersección de estas
curvas son 15, 02 y 13, 42.
Observe que, en este caso, los vértices no forman parte del conjunto solución,
ya que no cumplen con la desigualdad x 2 y 2 25, por lo que se grafican como
círculos abiertos en la figura. Simplemente muestran dónde quedan las “esquinas”
del conjunto solución.
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