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SECCIÓN 11.6 Teorema del binomio 865
Propiedad clave de los coeficientes binomiales
Para enteros no negativos cualquiera r y k , donde r k,
k
a
r 1 b a k r b a k 1 b
r
Observe que los dos términos del lado izquierdo de esta ecuación son elementos adyacentes
en el k-ésimo renglón del triángulo de Pascal y el término del segundo
miembro es el elemento ubicado en diagonal abajo de ellos, en el 1k 12 renglón. Por
lo tanto, esta ecuación es un replanteamiento de la propiedad clave del triángulo de
Pascal en términos de los coeficientes del binomio. Una demostración de esta fórmula
se esboza en el ejercicio 49.
Teorema del binomio
Ya estamos listos para establecer el teorema del binomio.
Teorema del binomio
1a b2 n a n 0 b an a n 1 b an1 b a n 2 b an2 b 2 . . . n
a
n 1 b abn1 a n n b bn
Demostramos el teorema al final de esta sección. Primero examinemos algunas de
sus aplicaciones.
Ejemplo 4
Desarrollo de un binomio
aplicando el teorema del binomio
Aplique el teorema del binomio para desarrollar 1x y2 4 .
Solución
De acuerdo con el teorema del binomio,
1x y2 4 a 4 0 b x 4 a 4 1 b x 3 y a 4 2 b x 2 y 2 a 4 3 b xy3 a 4 4 b y4
Verifique que
a 4 0 b 1 a 4 1 b 4 a 4 2 b 6 a 4 3 b 4 a 4 4 b 1
Se infiere que
1x y2 4 x 4 4x 3 y 6x 2 y 2 4xy 3 y 4
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