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342 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
4.2 Funciones logarítmicas
y
0 x
Figura 1
f1x2 a x es uno a uno
f(x)=a˛,
a>1
En esta sección se estudia la inversa de las funciones exponenciales.
Funciones logarítmicas
Toda función exponencial f1x2 a x , con a 0ya 1, es una función uno a uno
por la prueba de la recta horizontal (véase la figura 1 para el caso a 1) y, por lo
tanto, tiene una función inversa. La función inversa f 1 se llama función logarítmica
con base a y se denota por log a . Recuerde de la sección 2.8 que f 1 se define por
f 1 1x2 y 3 f1y2 x
Esto conduce a la siguiente definición de la función logarítmica.
Definición de la función logarítmica
El log a x y se lee como “el log base a
de x es y”.
Sea a un número positivo con a 1. La función logarítmica con base a, denotada
por log a , se define
log a x y 3 a y x
Así, log a x es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.
Por tradición, el nombre de la función
logarítmica es log a , no sólo una sola letra.
También, normalmente se omiten
los paréntesis en la notación de función
y se escribe
log a 1x2 log a x
Cuando se usa la definición de logaritmos para intercambiar entre la forma logarítmica
log a x y y la forma exponencial a y x, es útil observar que, en ambas
formas, la base es la misma:
Forma logarítmica
log a x y
Exponente
Forma exponencial
Exponente
a y x
Base
Base
Ejemplo 1
Formas logarítmica y exponencial
Las formas logarítmica y exponencial son ecuaciones equivalentes, si una es cierta
entonces la otra también lo es. Por lo tanto, se puede intercambiar de una forma a la
otra como en las siguientes ilustraciones.
Forma logarítmica
Forma exponencial
log 10 100 000 5 10 5 100 000
log 2 8 3 2 3 8
log 2 ! 1 8 @ 3
2 3 1 8
log 5 s r
5 r s
■
Es importante entender que log a x es un exponente. Por ejemplo, los números de
la columna derecha de la tabla del margen son los logaritmos (base 10) de los nú-