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SECCIÓN 3.5 Ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra 295
Ejemplo 4
Hallar polinomios con ceros especificados
a) Hallar un polinomio P1x2 de grado 4, con ceros i, i, 2 y 2 y con P132 25.
b) Encuentre un polinomio Q1x2 de grado 4, con ceros 2 y 0, donde 2 es un
cero de multiplicidad 3.
Solución
a) El polinomio requerido tiene la forma
P1x2 a1x i21x 1i221x 221x 1222
a1x 2 121x 2 42
a1x 4 3x 2 42
Diferencia de cuadrados
Multiplicar
Se sabe que P132 a13 4 3 # 3 2 42 50a 25, por lo tanto a 1 2. Así
b) Se requiere
P1x2 1 2x 4 3 2x 2 2
Q1x2 a3x 1224 3 1x 02
a1x 22 3 x
a1x 3 6x 2 12x 82x Fórmula de producto especial 4 (sección 1.3)
a1x 4 6x 3 12x 2 8x2
Puesto que no se tiene información acerca de Q aparte de sus ceros y multiplicidad,
se puede elegir cualquier número para a. Si se usa a 1, se obtiene
Q1x2 x 4 6x 3 12x 2 8x
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Ejemplo 5 Hallar los ceros de un polinomio
Hallar los cuatro ceros de P1x2 3x 4 2x 3 x 2 12x 4.
40
_2 4
_20
Figura 1
P1x2 3x 4 2x 3 x 2 12x 4
En la figura 1 se muestra la gráfica
del polinomio P del ejemplo 5. Las
intersecciones con x corresponden a los
ceros reales de P. Los ceros imaginarios
no se pueden determinar de la
gráfica.
Solución Con el teorema de ceros racionales de la sección 3.3, se obtiene la
siguiente lista de posibles ceros racionales: 1, 2, 4, 1 , 2 , 4 3 3 3. Al comprobar
1
éstos por medio de división sintética, se encuentra que 2 y 3 son ceros, y se obtiene
la siguiente factorización.
P1x2 3x 4 2x 3 x 2 12x 4
Los ceros del factor cuadrático son
1x 2213x 3 4x 2 7x 22
1x 22Ax 1 3B13x 2 3x 62
31x 22Ax 1 3B1x 2 x 22
1 11 8
x
2
por lo tanto, los ceros de P1x2 son
1 2 i 17
2
Factor x 2
Factor x
Factor 3
Fórmula cuadrática
1
2,
3 , 1 2 i 17
2 , and 1
2 i 17
y
2
1
3
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