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SECCIÓN 9.4 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 669
Las soluciones de un sistema lineal en la forma escalonada
Suponga que la matriz aumentada de un sistema lineal se transformó mediante
la eliminación de Gauss en la forma escalonada. Entonces, uno de los siguientes
enunciados es verdadero.
1. Ninguna solución. Si la forma escalonada contiene un renglón que representa
la ecuación 0 c donde c no es cero, entonces el sistema no tiene
solución. Un sistema sin solución se llama inconsistente.
2. Una solución. Si cada variable en la forma escalonada es una variable principal,
entonces el sistema tiene exactamente una solución, que se determina
mediante sustitución o por medio de la eliminación de Gauss-Jordan.
3. Cantidad infinita de soluciones. Si las variables en la forma escalonada no
son variables principales, y si el sistema no es inconsistente, entonces tiene
una cantidad infinita de soluciones. En este caso, el sistema se denomina
dependiente. El sistema se resuelve convirtiendo la matriz en la forma escalonada
reducida y después las variables principales se expresan en función
de las variables no principales. Las variables no principales pueden tomar
cualquier valor de número real.
Las matrices que siguen, todas en la forma escalonada, ilustran los tres casos descritos
en el recuadro.
Sin solución Una solución Cantidad infinita
de soluciones
1 2 5 7 1 6 1 3 1 2 3 1
£ 0 1 3 4§
£ 0 1 2 2 § £ 0 1 5 2 §
0 0 0 1 0 0 1 8 0 0 0 0
La última ecuación
dice que 0 1.
Cada variable es
una variable principal.
La z no es una
variable principal.
Ejemplo 5
Resuelva el sistema.
Un sistema sin solución
x 3y 2z 12
• 2x 5y 5z 14
x 2y 3z 20
Solución
Se transforma el sistema en la forma escalonada.
1 3 2 12
£ 2 5 5 14§
1 2 3 20
R 2 2R 1 R 2
SSSSSSSO
R 3 R 1 R 3
1 3 2 12
£ 0 1 1 10 §
0 1 1 8
R 3 R 2 S R 3
SSSSSSSO
1 3 2 12
£ 0 1 1 10 §
0 0 0 18
1 1 3 2 12
18 R 3
SSO £ 0 1 1 10 §
0 0 0 1