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SECCIÓN 3.2 División de polinomios 269
■ Demostración Si el divisor en el algoritmo de la división es de la forma
x c para algún número real c, entonces el residuo debe ser una constante (puesto
que el grado del residuo es menor que el grado del divisor.) Si a esta constante se le
denomina r, entonces
Si se establece x c en esta ecuación, se obtiene
P1c2 1c c2 # Q1x2 r 0 r r , es decir, P1c2 es el residuo r. ■
Ejemplo 4
P1x2 1x c2 # Q1x2 r
Uso del teorema del residuo para
hallar el valor de un polinomio
Sea P1x2 3x 5 5x 4 4x 3 7x 3.
a) Encuentre el cociente y el residuo cuando P1x2 se divide entre x 2.
b) Use el teorema del residuo para hallar P122.
Solución
a) Puesto que x 2 x 122, la división sintética para este problema toma la
siguiente forma.
2 3 5 4 0 7 3 ,
6 2 4 8 2 El residuo es 5, por
3 1 2 4 1 5
lo tanto P(2) 5.
El cociente es 3x 4 x 3 2x 2 4x 1 y el residuo es 5.
b) Por el teorema del residuo, P122 es el residuo cuando P1x2 se divide entre
x 122 x 2. Del inciso a) el residuo es 5, por lo tanto P122 5. ■
El teorema siguiente establece que los ceros de polinomios corresponden a factores;
se utilizó este hecho en la sección 3.1 para graficar polinomios.
Teorema del factor
c es un cero de P si y sólo si x c es un factor de P1x2.
■ Demostración Si P1x2 se factoriza como P1x2 1x c2 # Q1x2 , entonces
P1c2 1c c2 # Q1c2 0 # Q1c2 0
A la inversa, si P1c2 0, entonces por el teorema del residuo
P1x2 1x c2 # Q1x2 0 1x c2 # Q1x2
por lo tanto x c es un factor de P1x2 . ■
1 1 0 7 6
1 1 6
1 1 6 0
Ejemplo 5 Factorización de un polinomio por medio del
teorema del factor
Sea P1x2 x 3 7x 6. Muestre que P112 0, y use este hecho para factorizar
P1x2 por completo.
Solución Sustituyendo, se ve que P112 1 3 7 # 1 6 0 . Por el teorema
del factor, esto significa que x 1 es un factor de P1x2. Usando la división sintética