7nxQnvJSe

536 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830) fue el descubridor de
las aplicaciones más sorprendentes
de las funciones trigonométricas
(véase la nota al margen en la
página 427). Utilizó las sumas de
estas funciones para describir fenómenos
físicos como la transmisión
del sonido y el flujo del calor.
Fourier quedó huérfano a corta
edad, por lo que recibió su educación
en una escuela militar, de donde
se convirtió en maestro de matemáticas
cuando tenía 20 años. Más
tarde fue designado profesor de la
École Polytechnique, pero rechazó
este puesto para acompañar a Napoleón
en su expedición a Egipto,
en donde Fourier fue gobernador.
Cuando regresó a Francia empezó
a hacer experimentos relacionados
con el calor. La Academia Francesa
se rehusó a publicar sus primeros
trabajos sobre el tema debido a
la falta de rigor. Con el paso del
tiempo, Fourier fue secretario de la
Academia, y ya con este puesto pudo
publicar sus trabajos en la forma
original. Quizá debido a sus
estudios sobre el calor y a los años
que pasó en el desierto de Egipto,
Fourier estaba obsesionado por
mantenerse caliente; usaba varias
ropas encimadas, incluso en el verano,
y mantenía sus habitaciones
incómodamente calientes. Evidentemente,
estos hábitos sobrecargaron
a su corazón y contribuyeron a
su muerte a la edad de 62 años.
■ Demostración de la fórmula de la adición en el caso del coseno Si
reemplazamos t con t en la fórmula de la adición para el coseno tenemos
cos1s t2 cos1s 1t22
cos s cos1t2 sen s sen1t2
cos s cos t sen s sen t
Fórmula de la adición para el coseno
Identidades pares-impares
Esto demuestra la fórmula de la sustracción en el caso del coseno.
Refiérase a los ejercicios 56 y 57 para ver las demostraciones de otras fórmulas
de adición.
Ejemplo 1
Uso de las fórmulas de adición y sustracción
Calcule el valor exacto de cada expresión
a) cos 75 b) cos p 12
Solución
a) Observe que 75 45 30. Puesto que conocemos los valores exactos del
seno y el coseno de 45 y 30, aplicamos la fórmula de la adición para el coseno
para llegar a
cos 75° cos145° 30°2
cos 45° cos 30° sen 45° sen 30°
12
2
p
b) Puesto que , la fórmula de sustracción para el caso del coseno da
12 p 4 p 6
cos
13
2 12 1 1213 12 16 12
2 2 4
4
p
12 cos a p 4 p 6 b
cos p 4 cos p
6 sen p
4 sen p 6
12
2
13
2 12 1 16 12
2 2 4
■
■
Ejemplo 2 Uso de la fórmula de la adición en el caso del seno
Determine el valor exacto de la expresión sen 20 cos 40cos 20 sen 40.
Solución Identificamos la expresión como el segundo miembro de la fórmula de
la adición para el seno con s 20 y t 40. De modo que tenemos
sen 20° cos 40° cos 20° sen 40° sen120° 40°2 sen 60° 13
2
■