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SECCIÓN 9.7 Determinantes y la regla de Cramer 711
Ejemplo 7
Aplicación de la regla de Cramer para resolver
un sistema con tres variables
Aplique la regla de Cramer para resolver el sistema.
2x 3y 4z 1
• x 6z 0
3x 2y 5
Solución Primero evaluamos los determinantes que aparecen en la regla de Cramer.
Observe que D es la matriz de coeficientes y que D x , D y y D z se obtienen al reemplazar
las columnas primera, segunda y tercera de D por los términos constantes.
0 D 0 †
0 D y 0 †
0 0
2 3 4
1 3 4
1 0 6 † 38 D x † 0 0 6 † 78
3 2 0
5 2 0
0 0
2 1 4
2 3 1
1 0 6 † 22 D z † 1 0 0 † 13
3 5 0
3 2 5
Ahora aplicamos la regla de Cramer para llegar a la solución:
x 0 D x 0
0 D 0
y 0 D y 0
0 D 0
z 0 D z 0
0 D 0
78
38 39
19
22
38 11
19
13
38 13
38
■
Si resolvemos el sistema del ejemplo 7 usando la eliminación de Gauss podríamos
encontrar matrices cuyos elementos son fracciones con denominadores ciertamente
grandes. Por lo tanto, en casos como los de los ejemplos 6 y 7, la regla de Cramer es
una manera eficaz de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Pero en sistemas con
más de tres ecuaciones, evaluar los distintos determinantes es por lo regular una tarea
tardada y tediosa, a menos que usted utilice una calculadora graficadora. Además,
la regla de Cramer no se aplica si 0 D 0 o si D no es una matriz cuadrada. Entonces, la
regla de Cramer es una alternativa útil para no usar la eliminación de Gauss, pero sólo
en algunas ocasiones.
Áreas de triángulos usando determinantes
Los determinantes proporcionan una manera sencilla de calcular el área de un triángulo
en el plano coordenado.