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770 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
b) Use un dispositivo de graficación para dibujar las ramas
superiores de la familia de hipérbolas del inciso a) para
k 1, 4, 8 y 12. ¿Cómo cambia la forma de la gráfica
cuando se incrementa k?
Aplicaciones
44. Navegación En la figura, las estaciones LORAN en A y
B están apartadas 500 millas y la nave en P recibe la señal
de la estación A 2640 microsegundos (ms) antes de que
reciba la señal de B.
a) Si se supone que las señales de radio viajan a 980
pies/ms, encuentre d1P, A2 d1P, B2
b) Encuentre una ecuación para la rama de la hipérbola indicada
en rojo en la figura. (Use millas como unidad de
distancia.)
c) Si A está al norte de B y si P está al este de A, ¿qué tan
lejos está P de A?
46. Ondas en un estanque Se lanzan dos piedras al mismo
tiempo en un estanque de agua en calma. Las crestas de las
ondas resultantes forman círculos concéntricos igualmente
espaciados, como se muestra en las figuras. Las ondas interactúan
entre sí para crear ciertos patrones de interferencia.
a) Explique por qué los puntos rojos yacen sobre una elipse.
b) Explique por qué los puntos azules yacen en una
hipérbola.
y (millas)
A
B
0
250
_250
x (millas)
45. Trayectorias de cometas Algunos cometas, como el
cometa Halley, son una parte permanente del sistema solar,
que viajan en órbitas elípticas alrededor del Sol. Otros pasan
por el sistema solar sólo un vez, siguiendo una trayectoria
hiperbólica con el Sol en un foco. La figura muestra la trayectoria
de esta clase de cometa. Encuentre una ecuación
para la trayectoria, suponiendo que lo más que el cometa se
aproxima al Sol son 2 10 9 millas y que la trayectoria que
estaba tomando el cometa antes de acercase al sistema solar
es en un ángulo recto a la trayectoria que continúa después
de dejar el sistema solar.
P
Descubrimiento • Debate
47. Hipérbolas en el mundo real En el texto se dan varios
ejemplos de los usos de hipérbolas. Encuentre otras situaciones
de la vida real donde ocurren hipérbolas. Consulte
una enciclopedia científica en su biblioteca, o busque en
Internet.
48. Luz de una lámpara La luz de una lámpara forma un
área iluminada en una pared, como se muestra en la figura.
¿Por qué el límite de esta área iluminada es una hipérbola?
¿Cómo se puede sostener una linterna de modo que su haz
forme una hipérbola en el suelo?
y
x
2 10ª millas