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SECCIÓN 5.5 Modelado del movimiento armónico 443
Modelado del comportamiento periódico
Las funciones trigonométricas son ideales para modelar el comportamiento periódico.
Una mirada a las gráficas de las funciones seno y coseno, por ejemplo, nos dice
que estas funciones muestran un comportamiento periódico. En la figura 1 se puede
observar la gráfica de y sen t. Si pensamos que t es el tiempo, vemos que a medida
que pasa el tiempo, y sen t aumenta y disminuye una y otra vez. En la figura 2
se puede observar que el movimiento de una masa que cuelga de un resorte que vibra
está modelado con mucha exactitud mediante y sen t.
y
1 y=sen t
0
_1
t
O
P
t
(tiempo)
Figura 1
y sen t
Figura 2
Movimiento de un resorte que vibra modelado
mediante y sen t.
Observe que la masa regresa a su posición original una y otra vez. Un ciclo es
una vibración completa de un objeto, de modo que la masa de la figura 2 completa
un ciclo de su movimiento entre O y P. Las observaciones sobre cómo las funciones
seno y coseno modelan el comportamiento periódico se resumen en el siguiente
recuadro.
Movimiento armónico simple
La diferencia principal entre dos ecuaciones
que describen el movimiento armónico
simple es el punto de inicio. En
t 0, tenemos
y a sen v 0 0
y a cos v 0 a
En el primer caso, el movimiento “inicia”
con cero desplazamiento, en tanto
que en el segundo caso, el movimiento
“inicia” con el desplazamiento en un
punto máximo (a la amplitud a).
Si la ecuación que describe el desplazamiento y de un objeto en el tiempo t es
entonces el objeto sigue un movimiento armónico simple. En este caso
amplitud 0 a 0
periodo 2p v
y a sen vt o bien y a cos vt
frecuencia v
2p
Desplazamiento máximo del objeto
Tiempo necesario para completar un ciclo
Número de ciclos por unidad de tiempo