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SECCIÓN 2.7 Composición de funciones 223
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
Iteración y caos
Las iteraciones de una función f en el punto x 0 son f1x 0 2, f1f1x 0 22, f1f1f1x 0 222,
y así sucesivamente. Se escribe
x 1 f1x 0 2 Primera iteración
x 2 f1f1x 0 22 Segunda iteración
x 3 f1f1f1x 0 222 Tercera iteración
Por ejemplo, si f1x2 x 2 , entonces las iteraciones de f en 2 son x 1 4,
x 2 16, x 3 256, etc. (Compruebe esto.) Las iteraciones se pueden describir
en forma gráfica como en la figura 1. Empiece con x 0 en el eje x muévase verticalmente
a la gráfica de f, luego horizontalmente a la recta y x, después
verticalmente a la gráfica de f, etc. Las coordenadas x en los puntos sobre la
gráfica de f son las iteraciones de f en x 0 .
y
y=x
f(x¤)
f(x‹)
f(x⁄)
f(x›)
y=Ï
f(x‚)
Figura 1
x‚
x⁄ x¤ x› x‹
x
n
x n
0 0.1
1 0.234
2 0.46603
3 0.64700
4 0.59382
5 0.62712
6 0.60799
7 0.61968
8 0.61276
9 0.61694
10 0.61444
11 0.61595
12 0.61505
Las iteraciones son importantes en el estudio de la función logística
f1x2 kx11 x2
que modela la población de una especie con potencial limitado para crecimiento
(p. ej., conejos en una isla o peces en un estanque). En este modelo la población
máxima que puede soportar el medio es 1 (es decir, 100%). Si se comienza con
una fracción de esa población, por ejemplo 0.1 (10%), entonces las iteraciones
de f en 0.1 dan la población después de cada intervalo de tiempo (días, meses o
años, dependiendo de las especies). La constante k depende de la tasa de crecimiento
de la especie que está siendo modelada; se llama constante de crecimiento.
Por ejemplo, para k 2.6 y x 0 0.1 las iteraciones mostradas en la
tabla a la izquierda dan la población de las especies para los primeros 12 intervalos
de tiempo. La población se estabiliza al parecer alrededor de 0.615 (es decir,
61.5% del máximo).
En las tres gráficas de la figura 2, se grafican las iteraciones de f en 0.1 para
diferentes valores de la constante de crecimiento k. Para k 2.6 la población