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SECCIÓN 10.5 Rotación de ejes 783
3960 millas. Encuentre una ecuación para la trayectoria
del satélite con el origen en el centro de la Tierra.
440 millas 140 millas
b) Halle las ecuaciones de dos hipérbolas diferentes que
tienen estas propiedades.
c) Explique por qué sólo una parábola satisface estas propiedades.
Encuentre su ecuación.
d) Bosqueje las cónicas que encontró en los incisos a), b)
y c) en los mismos ejes coordenados (para las hipérbolas,
bosqueje las ramas superiores solamente).
e) ¿Cómo se relacionan las elipses e hipérbolas con la
parábola?
y
Descubrimiento • Debate
40. Una familia de cónicas cofocales Las cónicas que
comparten un foco se llaman cofocales. Considere la familia
de cónicas que tienen un foco en (0, 1) y un vértice en el
origen (véase la figura).
a) Encuentre las ecuaciones de dos elipses diferentes que
tienen estas propiedades.
1
0 x
10.5 Rotación de ejes
En la sección 10.4 se estudian cónicas con ecuaciones de la forma
Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0
Se vio que la gráfica es siempre una elipse, parábola o hipérbola con ejes horizontales
o verticales (excepto en los casos degenerados). En esta sección se estudia la ecuación
de segundo grado más general
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
Y
y
0
ƒ
P(x, y)
P(X, Y)
X
x
Se verá que la gráfica de una ecuación de esta forma es también una cónica. De hecho,
al rotar los ejes coordenados por un ángulo apropiado, se puede eliminar el término Bxy
y usar después lo que se sabe de las secciones cónicas para analizar la gráfica.
Rotación de ejes
En la figura 1 los ejes x y y han sido girados por un ángulo agudo f respecto al origen
para producir un nuevo par de ejes, que se llaman ejes X y Y. Un punto P que tiene
coordenadas (x, y) en el sistema anterior tiene coordenadas (X, Y) en el nuevo sistema.
Si r denota la distancia de P desde el origen y u es el ángulo que el segmento OP
forma con el nuevo eje X, entonces se puede ver de la figura 2 en la siguiente página
(considerando los dos triángulos rectángulos de la figura) que
X r cos u
Y r sen u
Figura 1
x r cos1u f2
y r sen1u f2