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SECCIÓN 10.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 807
10.7 Ejercicios
1–22 ■ Se da un par de ecuaciones paramétricas.
a) Bosqueje la curva representada por las ecuaciones paramétricas.
b) Encuentre una ecuación en coordenadas rectangulares para la
curva eliminando el parámetro.
1. x 2t, y t 6
2. x 6t 4, y 3t, t 0
3. x t 2 , y t 2, 2 t 4
4. x 2t 1,
5. x 1t, y 1 t
6. x t 2 , y t 4 1
7.
x 1 t , y t 1
y At 1 2B 2
0 0 0 0
8. x t 1, y
t
t 1
9. x 4t 2 , y 8t 3
10. x t , y 1 t 00
11. x 2 sen t, y 2 cos t, 0 t p
12. x 2 cos t, y 3 sen t, 0 t 2p
13. x sen 2 t, y sen 4 t 14. x sen 2 t, y cos t
15. x cos t, y cos 2t
16. x cos 2t, y sen 2t
17 x sec t, y tan t, 0 t p/2
18 x cot t, y csc t, 0 t p
19 x tan t, y cot t, 0 t p/2
20. x sec t, y tan 2 t, 0 t p/2
21. x cos 2 t, y sen 2 t
22. x cos 3 t, y sen 3 t, 0 t 2p
23–26 ■ Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta con
las propiedades dadas.
1
23. Pendiente 2, pasa por (4, 1)
24. Pendiente 2, pasa por 110, 202
25. Pasa por (6, 7) y (7, 8)
26. Pasa por (12, 7) y el origen
27. Encuentre ecuaciones paramétricas para el círculo
x 2 y 2 a 2 .
28. Encuentre ecuaciones paramétricas para la elipse
x 2
a 2 y2
b 2 1
29. Muestre eliminando el parámetro u que las siguientes ecuaciones
paramétricas representan una hipérbola:
x a tan u y b sec u
30. Muestre que las siguientes ecuaciones paramétricas representan
una parte de la hipérbola del ejercicio 29.
x a1t y b2t 1
31–34 ■ Bosqueje la curva dada por las ecuaciones paramétricas.
31. x t cos t, y t sen t, t 0
32. x sen t, y sen 2t
33. x
3t
1 t , y 3t 2
3 1 t 3
34. x cot t, y 2 sen 2 t, 0 t p
35. Si un proyectil es disparado con una velocidad inicial de
v 0 pies/s a un ángulo a arriba de la horizontal, entonces su
posición después de t segundos está dada por las ecuaciones
paramétricas
x 1√ 0 cos a2t y 1√ 0 sen a2t 16t 2
(donde x y y se miden en pies). Muestre que la trayectoria
del proyectil es una parábola eliminando el parámetro t.
36. Con referencia al ejercicio 35, suponga que una pistola dispara
una bala al aire con una velocidad inicial de 2048 pies/s
a un ángulo de 30 respecto a la horizontal.
a) ¿Después de cuántos segundos la bala tocará el suelo?
b) ¿A qué distancia de la pistola la bala chocará contra el
suelo?
c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?
37–42 ■ Use un dispositivo de graficación para trazar la curva
representada por las ecuaciones paramétricas.
37. x sen t, y 2 cos 3t
38. x 2 sen t, y cos 4t
39. x 3 sen 5t, y 5 cos 3t
40. x sen 4t, y cos 3t
41. x sen1cos t2, y cos1t 3/2 2, 0 t 2p
42. x 2 cos t cos 2t, y 2 sen t sen 2t
43–46 ■ Se da una ecuación polar.
a) Exprese la ecuación polar en forma paramétrica.
b) Use un dispositivo de graficación para trazar las ecuaciones
paramétricas que halló en el inciso a).
43. r 2 u/12 , 0 u 4p 44. r sen u 2 cos u
4
45. r
46. r 2 sen u
2 cos u